1.2 .Phương pháp ứng dụng các tính chất của hàm số
2.4.Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ
Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiểu quả cho các dạng tốn tìm điều kiện của tham số để.
Dạng 1: Phương trình có nghiệm duy nhất.
Dạng 2: Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số.
Dạng 3: Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ D. Khi đó ta cần thực
hiện các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong phương trình có nghĩa. Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ trong bước này cần có một số kỹ năng cơ bản.
Ví dụ 2.6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
p
1−x2 + 2p3 1−x2 = m.
Giải. Điều kiện cần.
Nhận xét rằng phương trình có nghiệm x0 thì cũng nhận −x0 làm nghiệm.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện đủ là x0 = −x0
thay vào phương trình ta có m = 3. Điều kiện đủ.
Với m = 3 khi đó phương trình có dạng √
1−x2 + 2√3 1−x2 = 3. Vì √ 1−x2 ≤1 3 √ 1−x2 ≤1 suy ra √ 1−x2 + 2√3 1−x2 ≤3. Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
√ 1−x2 = 1 3 √ 1−x2 = 1 hay x = 0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 3. Ví dụ 2.7. Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 0.
p
x2 + 2x−m2 + 2m+ 4 = x+m−2. Giải.
Điều kiện cần.
Giả sử phương trình đã cho có nghiệm với mọi x ≥ 0 thì x = 0 cũng là một nghiệm của phương trình khi đó thay x = 0 vào phương trình ta được √ −m2 + 2m+ 4 = m −2 hay m−2 ≥ 0 −m2 + 2m+ 4 = (m−2)2 suy ra m = 3. Điều kiện đủ.
Với m = 3 khi đó phương trình đã cho có dạng
√
x2 + 2x+ 1 = x+ 1 phương trình này ln đúng với mọi x ≥ 0. Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.