Cơ sở thực tiễn

Chƣơng 1 : CƠ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.3. Cơ sở thực tiễn

1.3.1. Chương Tớch phõn ở cỏc trường Đại học khối kinh tế

1.3.1.1. Sơ lược nội dung chương tớch phõn

Khỏc với ở phổ thụng, cỏc trường ĐH khụng học chung một giỏo trỡnh mà chủ yếu là học theo giỏo trỡnh của trường biờn soạn. Đối với mụn học Toỏn cao cấp núi chung và chương Tớch phõn núi riờng ở mỗi trường ĐH khối kinh tế cũng giảng dạy theo giỏo trỡnh của trường biờn soạn theo định hướng của Bộ GD- ĐT. Tuy nhiờn, vỡ là mụn học đại cương và bắt buộc (thuộc phần cứng) nờn chương trỡnh giảng dạy phần nội dung này ở cỏc trường ĐH khối kinh tế là tương tự nhau. Trong chương Tớch phõn SV sẽ phải học cỏc nội dung: Tớch phõn bất định, tớch phõn xỏc định và tớch phõn suy rộng.

a) Phần tớch phõn bất định bao gồm cỏc nội dung: - Nguyờn hàm: + Định nghĩa

+ Định lý

- Tớch phõn bất định: + Định nghĩa + Tớnh chất

+ Cỏc phương phỏp tớnh b) Phần tớch phõn xỏc định bao gồm cỏc nội dung: - Định nghĩa

- Tớnh chất

- Mối liờn hệ giữa tớch phõn xỏc định và tớch phõn bất định - Cỏc phương phỏp tớnh

- Ứng dụng

c) Phần tớch phõn suy rộng bao gồm cỏc nội dung: - Định nghĩa

- Phương phỏp tớnh

1.3.1.2. Mục đớch, yờu cầu

- Nghiờn cứu cỏc định nghĩa, tớnh chất, phương phỏp tớnh cơ bản của tớch phõn bất định và tớch phõn xỏc định, sự hội tụ của tớch phõn suy rộng và một số ứng dụng hỡnh học của tớch phõn xỏc định.

- SV cần nắm vững cỏc khỏi niệm, cỏc phương phỏp tớnh tớch phõn, vận dụng thành thạo cỏc phương phỏp đú trong việc tớnh tớch phõn và khảo sỏt tớch phõn suy rộng, biết cỏch sử dụng tớch phõn xỏc định trong một số tớnh toỏn hỡnh học.

1.3.1.3. Thời gian phõn phối chương trỡnh

- Theo phõn phối chương trỡnh mụn Toỏn cao cấp (được giảng dạy cho SV năm thứ nhất của cỏc trường đại học) gồm 4 tớn chỉ, trong đú:

+ Toỏn cao cấp học phần 1 (phần giải tớch): 2 tớn chỉ + Toỏn cao cấp học phần 2 (phần đại số): 2 tớn chỉ

- Chương tớch phõn (thuộc phần giải tớch) được học với 10 giờ tớn chỉ lờn lớp, cụ thể như sau:

+ Tớch phõn bất định: 4 giờ tớn chỉ lờn lớp + Tớch phõn xỏc định: 4 giờ tớn chỉ lờn lớp + Tớch phõn suy rộng: 2 giờ tớn chỉ lờn lớp.

1.3.1.4. Tài liệu

- Tài liệu chớnh: Giỏo trỡnh của trường quy định (thường là giỏo trỡnh do trường biờn soạn).

- Tài liệu tham khảo:

+ Giỏo trỡnh của cỏc trường ĐH cựng khối kinh tế: ĐH Thương mại, ĐH Kinh tế Quốc dõn, Học viện Tài chớnh, … và giỏo trỡnh của ĐH Bỏch Khoa Hà Nội.

+ Cỏc tài liệu khỏc do GV cung cấp.

1.3.2. Những thuận lợi và khú khăn khi giảng dạy và nghiờn cứu chương Tớch phõn Tớch phõn

Đối với chương này, trong quỏ trỡnh giảng dạy và nghiờn cứu tụi thấy một số thuận lợi và khú khăn sau:

1.3.2.1. Những thuận lợi

- SV đó được học hầu hết cỏc nội dung này (trừ tớch phõn suy rộng) ở lớp 12

THPT và đó được ụn luyện rất nhiều để thi đại học, vỡ thế cỏc em đó cú sẵn kiến thức lý thuyết và kỹ năng làm bài tập. Điều này tạo điều kiện dễ dàng hơn cho cỏc em trong quỏ trỡnh tự học và nghiờn cứu.

- Cú rất nhiều tài liệu, sỏch tham khảo viết về tớch phõn tạo điều kiện thuận lợi cho SV trong quỏ trỡnh nghiờn cứu tài liệu phục vụ cho nội dung học tập.

1.3.2.2. Những khú khăn

- Sinh viờn năm thứ nhất của cỏc trường ĐH thường gặp rất nhiều khú khăn khi học tập ở bậc Đại học do phương phỏp dạy, phương phỏp học, yờu cầu của mụn học và cỏch đỏnh giỏ cỏc mụn học ở bậc học này cú nhiều khỏc biệt so với bậc THPT. Đặc biệt cỏc em phải bước đầu làm quen với hỡnh thức đào tạo tớn chỉ, ở đú năng lực tự học và tự nghiờn cứu cần được phỏt huy tối đa.

- Sinh viờn năm thứ nhất thường vẫn cũn tõm lý “ xả hơi” sau khi phải vất vả ụn thi và thi đỗ đại học, nhiều em chưa thực sự chỳ tõm vào việc học ngay từ đầu.

- Nội dung chương Tớch phõn núi riờng và học phần toỏn Giải tớch núi chung hầu hết cỏc em đó được làm quen ở phổ thụng, hơn nữa mụn học này ở bậc

đại học chỉ là mụn cơ bản (chứ khụng phải mụn chuyờn ngành) nờn SV thường cú thỏi độ chủ quan và coi thường.

- Mặc dự cỏc em đó được học nội dung này rất kỹ ở phổ thụng nhưng đõy là nội dung khú, cỏc dạng bài tập về tớch phõn là rất đa dạng và phong phỳ. Nhiều bài tập cần sự sỏng tạo của SV chứ khụng theo phương phỏp chung nào cả. Hơn nữa thời gian phõn phối tương đối ớt cũng tạo khú khăn cho quỏ trỡnh giảng dạy và học tập.

1.4. Túm tắt chƣơng 1

Trong chương 1, luận văn đó trỡnh bày một số nột chớnh về phương thức đào tạo theo học chế tớn chỉ và thực trạng đào tạo tớn chỉ trong cỏc trường Đại học Việt Nam. Luận văn cũng đó hệ thống húa quan điểm của một số tỏc giả về dạy học tớch cực và phương phỏp dạy học tớch cực, đồng thời hệ thống một số phương phỏp dạy học tớch cực cú thể vận dụng để nõng cao chất lượng giảng dạy theo hỡnh thức tớn chỉ: phương phỏp dạy học đàm thoại phỏt hiện, phương phỏp dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề, phương phỏp hướng dẫn sinh viờn tự học, phương phỏp hướng dẫn SV thảo luận nhúm. Đú chớnh là cơ sở lý luận của đề tài.

Luận văn đó trỡnh bày về tỡnh hỡnh dạy học chương Tớch phõn ở cỏc trường Đại học khối kinh tế và những thuận lợi, khú khăn khi giảng dạy và nghiờn cứu nội dung này. Đú chớnh là cơ sở thực tiễn của đề tài.

Chƣơng 2: MỘT SỐ GIÁO ÁN DẠY HỌC HIỆU QUẢ CHƢƠNG TÍCH PHÂN CHO SINH VIấN CÁC TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHỐI KINH TẾ 2.1. Xỏc định phƣơng hƣớng

Trước những thuận lợi và khú khăn của hỡnh thức đào tạo tớn chỉ và của mụn học, để nõng cao hiệu quả dạy học chương Tớch phõn cần phỏt huy được năng lực tự học và tự nghiờn cứu của SV. Vỡ thế cần kết hợp cỏc phương phỏp giảng dạy tớch cực như: Phương phỏp đàm thoại phỏt hiện, phương phỏp phỏt

hiện và giải quyết vấn đề, phương phỏp hướng dẫn SV tự học, phương phỏp hướng dẫn SV thảo luận nhúm… Ở đú GV sẽ là “người tổ chức và điều phối

cỏc hoạt động của SV ”. Để thực hiện được mục tiờu đú luận văn đề xuất mỗi giờ dạy tớn chỉ nội dung này cú quy trỡnh gồm 5 bước như sau:

Bước 1: Trờn lớp - toàn lớp (5 - 10 phỳt) cuối tiết học trước

- Giảng viờn nờu bản chất vấn đề cần nghiờn cứu.

- Giới thiệu cỏc tài liệu cần đọc và hướng dẫn cỏch đọc. - Nờu một số cõu hỏi cú tớnh chất gợi mở - Giao nhiệm vụ.

Bước 2: Ở nhà - cỏ nhõn

- Đọc và nghiờn cứu tài liệu, hoàn thành nhiệm vụ giỏo viờn giao.

- Vấn đề nào đó hiểu - hiểu như thế nào? Vấn đề nào chưa hiểu - vỡ sao ?

Bước 3: Trờn lớp - nhúm

- SV thảo luận nhúm, thực hiện cỏc nhiệm vụ được giao.

- Giảng viờn quan sỏt, hướng dẫn, làm việc với từng nhúm, từng thành viờn.

Bước 4: Trờn lớp - toàn lớp

- Cỏc nhúm trỡnh bày vấn đề đó nghiờn cứu và nờu những thắc mắc (Cỏch thức rất đa dạng).

- Cỏc nhúm khỏc, cỏc thành viờn lắng nghe và bổ sung.

- Giảng viờn với tư cỏch là trọng tài khoa học, cú nhiệm vụ: Giải đỏp cỏc thắc mắc, hệ thống và chốt lại cỏc nội dung, mở rộng nõng cao cỏc kiến thức cần tiếp thu, gắn lý luận với thực tiễn, hướng dẫn cho bài học sau…

Bước 5: Ở nhà - cỏ nhõn

- Mỗi người tự soạn lại nội dung bài học bằng ngụn ngữ riờng của mỡnh. - Làm cỏc bài tập, bài thu hoạch theo yờu cầu của giảng viờn.

Với phương hướng xỏc định ở trờn, sau đõy chỳng tụi trỡnh bày kết quả thiết kế dạy học ba nội dung trong chương Tớch phõn thuộc chương trỡnh Toỏn cao cấp dạy cho SV năm thứ nhất tại cỏc trường ĐH khối kinh tế.

2.2. Giỏo ỏn dạy học Tớch phõn bất định * Mục đớch yờu cầu: * Mục đớch yờu cầu:

- SV nắm vững định nghĩa và cỏc định lý về nguyờn hàm, định nghĩa và cỏc tớnh chất của tớch phõn bất định.

- SV hiểu và nắm vững được bảng tớch phõn cơ bản, cỏc phương phỏp tớnh tớch phõn bất định. Từ đú vận dụng tớnh thành thạo tớch phõn bất định của cỏc hàm số sơ cấp thường gặp (đa thức, hàm lũy thừa, hàm hữu tỉ, hàm vụ tỉ, hàm lượng giỏc, hàm siờu việt,...)

* Phương phỏp dạy học: - Đàm thoại phỏt hiện - Thảo luận nhúm

- Hướng dẫn SV tự học.

2.2.1. Phương phỏp dạy học lý thuyết

Vỡ thời gian phõn phối chương trỡnh rất ớt và nội dung này SV đó được học ở phổ thụng nờn việc dạy lại lý thuyết là rất nhàm chỏn. Do đú GV phỏt tài liệu, yờu cầu và hướng dẫn SV tự đọc, tự nghiờn cứu giỏo trỡnh và tài liệu ở nhà. Để SV nắm vững kiến thức phần này trờn lớp chỳng tụi sử dụng phương phỏp đàm thoại phỏt hiện, SV cần trả lời hệ thống cỏc cõu hỏi sau đõy:

(?) Hóy phỏt biểu định nghĩa nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn khoảng (a; b).

(!) Hàm số F(x) được gọi là nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn (a, b) nếu ( ; )

x a b

(?) Từ định nghĩa rỳt ra bản chất của nguyờn hàm.

(!) Nguyờn hàm chớnh là bài toỏn ngược của đạo hàm. Cũng đỳng với nghĩa của từ: “nguyờn” là “gốc”, “ nguyờn hàm” là hàm số cú đạo hàm bằng hàm số đó cho.

(?) Như ta đó biết, đạo hàm của một hàm số (nếu cú) là duy nhất. Vậy nguyờn

hàm thỡ thế nào.

(!) Nguyờn hàm khụng cú tớnh duy nhất như đạo hàm.

Một nguyờn hàm của một hàm số (nếu cú) cú thể biểu diễn dưới dạng cỏc hàm số khỏc nhau nhưng thực ra chỳng là một.

(?) Khi nào thỡ một hàm số cú nguyờn hàm.

(!) Nếu f(x) liờn tục trờn (a, b) thỡ f(x) cú nguyờn hàm trờn khoảng đú.

(?) Phỏt biểu và chứng minh định lý về nguyờn hàm. Từ định lý rỳt ra điều gỡ?

(!) Nếu trong khoảng (a ; b) hàm f(x) cú một nguyờn hàm là F(x) thỡ nú cú vụ số nguyờn hàm và mọi nguyờn hàm đều được biểu diễn dưới dạng F(x)+C

(với C là một hằng số tựy ý).

Từ định lý rỳt ra mối liờn hệ giữa cỏc nguyờn hàm của một hàm số: Cỏc nguyờn hàm của một hàm số chỉ sai khỏc nhau một hằng số, vỡ vậy đồ thị của cỏc nguyờn hàm cú thể suy ra được từ nhau bằng phộp tịnh tiến song song với trục hồnh.

(?) Hóy phỏt biểu định nghĩa tớch phõn bất định

(!) Nếu F(x) là một nguyờn hàm của f(x) trờn (a, b) thỡ biểu thức F(x) + C, với C là hằng số tựy ý, được gọi là tớch phõn bất định của f(x). Tớch phõn bất định của f(x) được kớ hiệu là:  f(x)dx. Như vậy:

 f(x)dx= F(x)+ C

(?) Mối liờn hệ giữa nguyờn hàm và tớch phõn bất định

(!) Tớch phõn bất định của hàm số f(x) chớnh là tập hợp tất cả cỏc nguyờn hàm (hay là một họ cỏc nguyờn hàm) của hàm số đú.

(?) Bảng cỏc tớch phõn cơ bản: GV đưa ra cỏc hàm số, SV tự viết cỏc nguyờn

hàm tương ứng vào bảng sau:

Bảng 2.1 dx  x C    α+1 α C x x dx = + α -1 α +1   ; dx ln x + C x   x x e dxe C  ; x x a a dx C (0 < a 1) lna     cosx dx = sinx+C  ; sinx dx = -cosx+C 2 dx tan x + C cos x =  ; 2 1 dx = -cot x + C sin x  2 2 dx x =arcsin + C a a - x  ; 2 2 2 2 dx = ln x + x ± a + C x ± a  2 2 dx 1 x = arctan + C a a x + a  ; 2 2 dx 1 x - a = ln +C 2a x + a x - a 

Chỳ ý: ở 4 cụng thức cuối tham số a luụn được giả thiết là số dương. (?) í nghĩa của bảng cỏc tớch phõn cơ bản

(!) Cỏc tớch phõn cơ bản là nền tảng để cú thể tớnh được nhiều tớch phõn phức tạp hơn. Vỡ vậy cần thiết phải nhớ để sử dụng chỳng một cỏch thuần thục. Cụ thể là, muốn tớnh tớch phõn bất định của một hàm số f(x) ta luụn đối sỏnh tớch phõn cần tớnh với cỏc tớch phõn cơ bản, để thực hiện cỏc phộp biến đổi thớch hợp, đưa tớch phõn cần tớnh đú về dạng tớch phõn cơ bản rồi ỏp dụng cụng thức.

(?) Cỏc tớnh chất của tớch phõn bất định. Cỏch vận dụng cỏc tớnh chất vào bài toỏn tớnh tớch phõn?

(?) Khi nào cú thể sử dụng phương phỏp đổi biến số? Phương phỏp đổi biến số cú mấy loại? Nội dung và cụng thức đổi biến của từng loại?

Với cỏc cõu hỏi này GV yờu cầu từng nhúm SV trỡnh bày kết quả đó nghiờn cứu bài học ở nhà. GV hợp thức húa những kiến thức sau:

- Trong nhiều trường hợp, khi tớnh  f(x)dx, nếu để biến tớch phõn là x thỡ sẽ

khú tớnh và khụng thấy được tớch phõn cần tớnh đú gần với dạng tớch phõn cơ bản nào (để cú thể ỏp dụng được tớch phõn cơ bản), khi đú ta tỡm cỏch đổi sang biến mới, để hi vọng với biến mới thỡ tớch phõn cần tớnh gần với tớch phõn cơ bản hơn.

- Phương phỏp đổi biến số cú hai loại: loại 1 và loại 2

+ Phương phỏp đổi biến số loại 1: Giả sử phải tớnh  f(x)dx. Bằng một cỏch nào đú nếu cú thể biểu diễn f(x)= g φ(x) .φ (x), tức là:   

    

 f(x)dx = g φ(x) .φ (x)dx = g φ(x) d φ(x)

Khi đú, dựng phộp đổi biến (gọi là đổi biến loại 1) đặt φ(x) =t, ta cú:  f(x) dx = g φ(x) dφ(x) = g(t)dt    .

Giả sử tớnh tiếp, ta được:

g(t) dt = G(t) + C.

Tiếp theo, chỉ việc thay t= φ(x) vào biểu thức cuối. Túm lại, ta sẽ được kết quả:

   

 f(x) dx = g φ(x) dφ(x) = g(t)dt = G(t) +C = G φ(x) +C 

+Phương phỏp đổi biến số loại 2: Giả sử phải tớnh  f(x)dx. Trong nhiều trường hợp, tớch phõn sẽ được tớnh dễ dàng hơn nếu ta dựng phộp đổi biến loại 2 : đặt x = φ(t), được thực hiện theo 3 bước:

Bước 2: Trong tớch phõn f(x)dx thay x = φ(t), ta được:

     

 f(x) dx = f φ(t) dφ(t)= f φ(t) φ (t)dt  g(t) dt =G(t)+C

Bước 3: Trong biểu thức cuối G(t)+C thay ngược lại t = t(x).

(?) Cỏc trường hợp thụng dụng đổi biến loại 1 và loại 2: Giỏo viờn yờu cầu SV thảo luận nhúm để đề xuất trong cỏc trường hợp sau:

- Đổi biến loại 1:

Bảng 2.2 Tớnh tớch phõn bất định Cỏch đổi biến g(cosx).sinx dx  cosx = t g(sinx).cos x dx  sinx = t 2 1 g(tanx). dx cos x  tanx = t x g(e )dx  x e =t 1 g(lnx). dx x  lnx=t

Chỳ ý: Trong một số trường hợp đơn giản, thay vỡ việc đổi biến bằng cỏch đặt φ(x) =t, ta cú thể ỏp dụng trực tiếp cụng thức: g φ x  dφ x = G φ x + C     Vớ dụ: +  2  2 2 2 d 2x - 3 xdx 1 1 = = ln 2x - 3 +C 4 4 2x - 3  2x - 3  (thay vỡ phải đặt 2x - 32 = t)

+ sin3x dx = - 1sin3x d3x = - 1cos3x +C

3 3 (thay vỡ phải đặt 3x = t).

Bảng 2.3

Tớnh  f x dx  Cỏch đổi biến

f(x) “chứa” a - x2 2 x = a.sint ( a> 0)

f(x) “chứa” x - a2 2 x = a

cost ( a> 0)

(hoặc cú thể t= x - a2 2 )

f(x) “chứa” a + x2 2 hoặc (a + x2 2) x = a.tant ( a> 0) f(x) “chứa” x , x ,..., x3 r k x = t , với k= BSCNN(2.3,…r) f(x) “chứa” ax + b x =t - b2 a ( ax + b = t)  ( a 0)

f(x) “chứa” sinx và cosx x = 2arctant (tanx = t

2 )

(?) Nội dung và cụng thức tớnh tớch phõn từng phần

(!) Giả sử cần tớnh  f(x)dx mà ta cú thể phõn tớch f(x)dx dưới dạng f(x)dx =

u(x).dv(x), với u(x), v(x) là cỏc hàm số khả vi liờn tục thỡ ta cú cụng thức tớch

phõn từng phần là: udv = uv - vdu

Thật vậy, do tớnh khả vi của cỏc hàm u và v thỡ: d(uv) = udv + vdu

 udv = d(uv) – vdu

udv = d uv - vdu = uv - vdu    

Đú là cụng thức cần chứng minh.

(?) Để ỏp dụng cụng thức tớch phõn từng phần cần chỳ ý điều gỡ

(!) Khi sử dụng phương phỏp tớch phõn từng phần ta cần chỳ ý hai điểm: thứ nhất, nờn tỏch biểu thức f(x)dx thế nào để nú cú dạng udv với v được xỏc định dễ dàng; thứ hai, bất kể tỏch theo cỏch gỡ thỡ vdu cũng phải dễ tỡm hơn tớch