Phu.o.ng tr` ınh vi phˆ an cˆ a ´p

1. Kh´ai niˆe. m chung

* Ta go.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 2 l`a phu.o.ng tr`ınh c´o da.ng

F(y00, y0, y, x) = 0 (II)

hay

y00 =f(y0, y, x) (IIo)

trong d¯´o y l`a h`am sˆo´ theo biˆe´nx, c`on y0, y00 l`a d¯a.o h`am cˆa´p 1,2 cu’ay, v`a nghiˆe. m cu’ a phu.o.ng tr`ınh l`a h`amy =ψ(x) hay Φ(x, y) = 0 tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh d¯´o. * H`am y = ψ(x, C1, C2) ho˘a.c Φ(x, y, C1, C2) = 0 tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh (II) hay (IIo) v´o.i C1, C2 l`a h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y trong tˆa.p con n`ao d¯´o cu’a R, v`a v´o.i mˆo˜i d¯iˆe` u kiˆe.n y(xo) = yo v`a y0(xo) = yo0 ta t`ım d¯u.o.. c duy nhˆa´t c˘a.p sˆo´C10, C20 sao cho y=

ψ(x, C10, C20) hay Φ(x, y, C10, C20) = 0 tho’a (II) hay (IIo) d¯u.o.. c go.i l`a nghiˆe. m tˆo’ng qu´at cu’ a c´ac phu.o.ng tr`ınh d¯´o.

* Nˆe´u y = ψ(y, C1, C2) hay Φ(x, y, C1, C2) = 0 l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a (II) hay (IIo), cho C1 = C01, C2 = C02 v´o.i C01, C02 l`a hai sˆo´ x´ac d¯i.nh cu. thˆe’ th`ı y =

ψ(x, C01, C02) hay Φ(x, y, C01, C02) = 0 d¯u.o.. c go.i l`a nghiˆe.m riˆeng cu’ a phu.o.ng tr`ınh d¯´o.

+ (D- i.nh l´y tˆo` n ta.i v`a duy nhˆa´t nghiˆe.m): Trong phu.o.ng tr`ınh (IIo), nˆe´u h`am

f(y0, y, x) liˆen tu.c trong miˆe` n n`ao d¯´o ch´u.a d¯iˆe’m (yo0, yo, xo) th`ı tˆ` n ta.i mˆo.t nghiˆe.mo

y =y(x) cu’a (IIo) sao cho y+o= y(xo), yo0 =y0(xo) v`a nˆe´u fy0.fy00 c˜ung liˆen tu.c trong miˆ` n ch´e u.a d¯iˆe’m (y0o, yo, xo) th`ı nghiˆe.m ˆa´y l`a duy nhˆa´t.

2. C´ac loa. i phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 2 thu.`o.ng g˘a. p

2.1. Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 2 gia’m cˆa´p d¯u.o.. c + Phu.o.ng tr`ınh c´o da.ng y00 =f(x) (thiˆe´u y, y0)

C´ach gia’i: t´ıch phˆan 2 lˆ` n.a

V´ı du. 1. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:

Ta c´o: y0 = Z (x+ 1)dx = x 2 2 +x+C1, suy ra: y= Z x2 2 +x+C1 dx = x 3 6 + x2 2 +C1x+C2 v´o.i C1, C2 t`uy ´y. + Phu.o.ng tr`ınh c´o da.ng y00 =f(y0, x) (thiˆe´uy)

C´ach gia’i: d¯˘a.t y0 = z (h`am theo x) ⇒ y00 = z0. Nˆen: z0 = f(z, x) l`a phu.o.ng tr`ınh cˆa´p 1 cu’a z theo x, gia’i ra nghiˆe.m tˆo’ng qu´at z = ψ(x, C1), thay z = y0, ta c´o:

y0 = ψ(x, C1) gia’i ra nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh ban d¯ˆa` u.

V´ı du. 2. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:

y00 =y0+x.

D- ˘a.t y0 = z (h`am theo x) ⇒ y00 = z0, suy ra z0−z = x. D- ˆay l`a phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 cu’a h`am z theo x v´o.i p(x) =−1, q(x) =x nˆen c´o nghiˆe.m:

z = Z q(x)eR p(x)dxdx+C1 e−Rp(x)dx= Z xe−xdx+C1 ex =C1ex−(x+ 1). Thay z =y0, ta c´o: y0 =C1ex−(x+ 1)⇒y=C1ex− x2

2 −x+C2 v´o.i C1, C2 t`uy ´y. + Phu.o.ng tr`ınh c´o da.ng y00 =f(y, y0) (thiˆe´u x)

C´ach gia’i: d¯˘a.t y0 = z (h`am theo y), d¯a.o h`am theo x, ta c´o: y00 = zy0 ·y0 = z0 ·z,

nˆen: z0·z =f(y, z).

Gia’i phu.o.ng tr`ınh cˆa´p 1 cu’az theo biˆe´ny, ta c´o: z =ψ(y, C1), thayz =y0 rˆ`i gia’io tiˆe´p phu.o.ng tr`ınhy0 =ψ(y, C1) ta c´o nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯˜a cho.

V´ı du. 3. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:

(1−y)y00+ 2(y0)2 = 0 (1)

D- ˘a.t y0 =z (theoy) ⇒y00 =z0y0 =z0z (v´o.i z0 = dz

dy), ta c´o:

(1−y)z0z+ 2z2 = 0 (2)

+ Nˆe´uz ≡0⇒z0 = 0: (2) tho’a m˜an nˆenz ≡0 l`a nghiˆe.m cu’a (2)⇒y0 = 0⇒y= C1

(v´o.i C1 t`uy ´y) l`a nghiˆe.m cu’a (1)

+ Nˆe´u 1−y ≡ 0⇔ y ≡1⇒ y0 = 0: (1) tho’a m˜an nˆen y = 1 l`a nghiˆe.m (1) (tru.`o.ng ho.. p riˆeng cu’a nghiˆe.m y=C1)

+ Nˆe´u y6≡C1 ⇔z 6≡0: (2)⇒(1−y)dz dy =−2z ⇒ dz z = 2dy y−1 ⇒ln|z|= 2 ln|y−1|+ ln|C1| Suy ra: z =y0 =C1(y−1)2 ⇒ dy

(y−1)2 =C1dx ⇒ − 1

y−1 =C1x+C2. Vˆa.y (1) c´o nghiˆe.m:



y =− 1

C1x+C2 + 1;C1 6= 0, C2 t`uy ´y y =C1, C1 t`uy ´y

L`a phu.o.ng tr`ınh c´o da.ngy00+py0+qy =f(x) trong d¯´op, q l`a h˘a`ng sˆo´ thu.. c. *D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t (f(x) = 0):

Gia’i phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng: k2+pk+q = 0. (DT) + Nˆe´u (DT) c´o 2 nghiˆe.m thu. c phˆ. an biˆe.t k1, k2 th`ı nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng

tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t l`a:

y= C1ek1x

+C2ek2x

.

+ Nˆe´u (DT) c´o nghiˆe.m k´ep k1 = k2 th`ı nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa` n nhˆa´t l`a:

y= (C1+C2x)ek1x.

+ Nˆe´u (DT) c´o 2 nghiˆe.m ph´u.c k1 = α+βi, k2 = α−βi th`ı nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t l`a:

y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

* D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa` n nhˆa´t y00 +py0 +qy = f(x) (vˆe´ pha’i c´o da.ng d¯˘a.c biˆe.t):

Bu.´o.c 1: Gia’i phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t tu.o.ng ´u.ng, t`ım nghiˆe.m tˆo’ng qu´at du.´o.i da.ng:

y=C1y1(x) +C2y2(x)

Bu.´o.c 2: T`ım nghiˆe.m riˆeng y∗ cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t d¯ˆe’ suy ra nghiˆe.m

y=y+y∗

+ Nˆe´u f(x) c´o da.ngPn(x)eax (Pn(x) l`a d¯a th´u.c bˆa.c n):

− Nˆe´ua khˆong pha’i l`a nghiˆe.m cu’a (DT) th`ıy∗ c´o da.ng:

y∗ = (anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+ao)eax

− Nˆe´ua l`a nghiˆe.m d¯o.n cu’a (DT) th`ıy∗ c´o da.ng:

y∗ =x(anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+ao)eax

− Nˆe´ua l`a nghiˆe.m k´ep cu’a (DT) th`ıy∗ c´o da.ng:

y∗ =x2(anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+ao)eax

+ Nˆe´u f(x) c´o da.ng eax[Pn(x) cosbx+Qm(x) sinbx]: (Pn(x), Qm(x) l`a c´ac d¯a th´u.c bˆa.c n, m), d¯˘a.t h= max{m, n}:

− Nˆe´ua+bikhˆong pha’i l`a nghiˆe.m cu’a (DT) th`ıy∗ c´o da.ng:

y∗ =

(ahxh +· · ·+a1x+ao) cosbx+ (bhxh+· · ·+b1x+bo) sinbx

eax

− Nˆe´ua+bil`a nghiˆe.m cu’a (DT) th`ıy∗ c´o da.ng:

y∗ =x.

(ahxh +· · ·+a1x+ao) cosbx+ (bhxh+· · ·+b1x+bo) sinbx

eax

D- ˆe’ x´ac d¯i.nh c´ac sˆo´ai, bi o.’ trˆen, ta d`ung phu.o.ng ph´ap hˆe. sˆo´ bˆa´t d¯i.nh: t´ınhy∗ 0, y∗ 00

rˆ`i thayo y∗, y∗ 0, y∗ 00 v`ao phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t, d¯ˆ`ng nhˆo a´t hai vˆe´ v`a gia’i hˆe. phu.o.ng tr`ınh theo ai, bi.

+ Nguyˆen l´y chˆ` ng chˆo a´t nghiˆe.m: Nˆe´u y1(x), y2(x) lˆ` n lu.o.a . t l`a nghiˆe.m riˆeng cu’a c´ac phu.o.ng tr`ınh y00+p(x).y0+q(x).y =f1(x) v`a y00+p(x).y0+q(x).y =f2(x) th`ı

y1(x) +y2(x) l`a nghiˆe.m riˆeng cu’a y00 +p(x).y0 +q(x).y =f1(x) +f2(x). V´ı du. 1. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:

y00−2y0−3y=e4x (1)

Phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng k2−2k−3 = 0 c´o nghiˆe.m

k1 =−1

k2 = 3 nˆen phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t: y00−2y0 −3y = 0 c´o nghiˆe.my =C1e−x+C2e3x, C1, C2 t`uy ´y.

Vˆe´ pha’i (1) c´o da.ng Pn(x)eax v´o.i n= 0, a= 4 6=k1, k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´o da.ng

y∗ =aoe4x, suy ra: y∗ 0 = 4aoe4x y∗ 00 = 16aoe4x . Thay v`ao (1), ta c´o: 16aoe4x−8aoe4x−3aoe4x =e4x ⇒ao = 1 5, suy ra: y=y+y∗ =C1e−x+C2e3x+ 1 5e 4x, ∀C1, C2.

V´ı du. 2. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:

y00 −2y0+y = 6xex (2)

Phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng k2−2k+ 1 = 0 c´o nghiˆe.m k´ep k1 =k2 = 1 nˆen phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t: y00−2y0+y = 0 c´o nghiˆe.my = (C1x+C2)ex, C1, C2 t`uy ´y.

Vˆe´ pha’i (2) c´o da.ngPn(x)eax v´o.in= 1, a= 1 =k1 =k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´o da.ng

y∗ = x2(a1x+ao)ex, suy ra: y∗ 0

= [a1x3 + (3a1+ao)x2+ 2aox]ex

y∗ 00 = [a1x3 + (6a1+ao)x2+ (6a1+ 4ao)x+ 2ao]ex . Thay v`ao (2), ta c´o: 6a 1 = 6 2ao = 0 ⇒ a 1 = 1 ao = 0 ⇒y ∗ =x3ex nˆen (2) c´o nghiˆe.m: y =y+y∗ = (C1x+C2)ex +x3ex = (C1x+C2+x3)ex,∀C1, C2

V´ı du. 3. Gia’i p[hu.o.ng tr`ınh:

y00+y = 4xex (3)

Phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng k2+ 1 = 0 c´o nghiˆe.m k = ±i nˆen phu.o.ng tr`ınh thuˆ` na nhˆa´t: y00 +y = 0 c´o nghiˆe.m y = e0x(C1sinx+C2cosx) = C1sinx+C2cosx, C1, C2

t`uy ´y.

Vˆe´ pha’i (3) c´o da.ng Pn(x)eax v´o.i n= 1, a = 16=k1, k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´o da.ng:

y∗ = (a1x+ao)ex, suy ra: y∗ 0

= (a1x+a1 +ao)ex

y∗ 00 = (a1x+ 2a1 +ao)ex . Thay v`ao (3), ta c´o: 2a1x+ 2a1+ 2ao = 4x. D- ˆo`ng nhˆa´t 2 vˆe´: a1 = 2

a1+ao = 0 ⇒

a1 = 2

ao =−2 ⇒y

∗ = (2x−2)ex nˆen (2) c´o nghiˆe.m:

y =y+y∗ = (C1sinx+C2cosx) + (2x−2)ex,∀C1, C2

V´ı du. 4. Gia’i phu.o.ng tr`ınh:

y00 −y = 2ex−x2 (4)

Phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng k2 −1 = 0 c´o nghiˆe.m k = ±1 nˆen phu.o.ng tr`ınh thuˆ` na nhˆa´t: y00−y= 0 c´o nghiˆe.m y=C1ex+C2e−x, C1, C2 t`uy ´y.

Theo nguyˆen l´y chˆ`ng chˆo a´t nghiˆe.m, nghiˆe.m riˆeng cu’a (4) l`a tˆo’ng hai nghiˆe.m riˆeng cu’a hai phu.o.ng tr`ınh sau:

y00 −y= 2ex (4a)

y00 −y=−x2 (4b)

Vˆe´ pha’i (4a) c´o da.ng Pn(x)eax v´o.i n= 0, a= 1 =k1 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´o da.ng:

y∗

1 =x(ao)ex = aoxex, suy ra: y∗

10 0

= (aox+ao)ex

y1∗00 = (aox+ 2ao)ex .

Thay v`ao (4a), ta c´o: (aox+ 2ao−aox)ex = 2ex ⇒ao = 1, nˆen y∗

1 =xex

Vˆe´ pha’i (4b) c´o da.ng Pn(x)eax v´o.i n= 2, a= 06=k1, k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´o da.ng:

y∗2 =a2x2+a1x+ao, suy ra: y2∗0 = 2a2x+a1 y2∗00 = 2a2 (4b) ⇒      a2 = 1 a1 = 0 ao = 2 ⇒y2∗ =x2+ 2. Suy ra nghiˆe.m riˆeng cu’a (4) l`a: y∗ =y1∗+y2∗ =xex+x2+ 2 v`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at:

y =y+y∗ =C1ex+C2e−x+xex +x2+ 2,∀C1, C2

B `AI T ˆA. P

4.2.1. Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 2 sau (da.ng gia’m cˆa´p):

xy00 =y0; xy00 =y0lny 0

x; x

2y00 =y02; y3y00 = 1; y00(ex+ 1) +y0 = 0;

(xlnx)y00 −y0 = 0; x2y00+ 3xy0 = 0; 1 +y02 = 2yy00; yy00−y02 = 0

4.2.2. Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 2 sau (da.ng tuyˆe´n t´ınh v´o.i hˆe. sˆo´ h˘a`ng):

y00−2y0+y =ex; y00−5y0+6y=e2x; y00−2y0+2y= 2x2; y00+y0−2y=xex;

y00 −3y0+ 2y=ex(2x+ 3); y00−y0−x; y00−6y0+ 5y= 3ex+ 5x2;

y00 −5y0 = 3x2+ sin 5x; y00+y= sinxcos 3x; y00−2y0−3y= 3−4ex -ooOoo-

T`ai liˆe. u tham kha’o Tiˆe´ng Viˆe. t

1. Lu.o.ng H`a. 2002. Gi´ao tr`ınh H`am nhiˆ` u biˆe e´n sˆo´. Trung tˆan D- `ao ta.o T`u. Xa, D- a.iho.c Huˆe´. ho.c Huˆe´.

2. Lˆe Tu.. Hy’. 1974. Gi´ao tr`ınh Gia’i t´ıch, Viˆe.n D- a.i ho.c Huˆe´.

3. Lˆe Viˆe´t Ngu., Phan v˘an Danh. 2000. To´an ho.c cao cˆa´p (chuyˆen ng`anh Sinh, Y,Nˆong Lˆam). NXB Gi´ao du.c. Nˆong Lˆam). NXB Gi´ao du.c.

4. Th´ai Xuˆan Tiˆen, D- ˘a.ng Ngo.c Du.c. 2002. To´an cao cˆa´p (phˆa`n Gia’i t´ıch). Trungtˆam D- `ao ta.o T`u. Xa, D- a.i ho.c Huˆe´. tˆam D- `ao ta.o T`u. Xa, D- a.i ho.c Huˆe´.

5. Nguyˆ˜n De - `ınh Tr´ı v`a cˆo.ng su... 1983. To´an ho.c cao cˆa´p. Tˆa.p I,II,III. NXB D- a.i ho.cv`a THCN. v`a THCN.

Tiˆe´ng Anh

6. P.E. Danko, A.G. Popov. 1996. B`ai tˆa.p To´an cao cˆa´p (ba’n di.ch). NXB Gi´ao du.c.

7. G.Dorofeev, M.Potapov, N.Rozov. 1976. Elementary mathematics. Mir Publisher.