3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh
3.1.2. Phu.o.ng ph´ ap th´ u nhˆ a´t Lyapunov
Bˆay gi`o. ta x´et t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a nghiˆe.m x(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh ˙
x=f(x), x∈U ⊂Rn, (3.4) trong d¯´o U l`a tˆa.p mo’ n`. ao d¯´o cu’a Rn. Phu.o.ng ph´ap th´u. nhˆa´t Lyapunov l`a phu.o.ng ph´ap nghiˆen c´u.u t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a x(t) du.. a v`ao c´ac thˆong tin sˆo´ m˜u Lyapunov cu’a hˆe. tuyˆe´n t´ınh h´oa do.c theo nghiˆe.m x(t) cho tru.´o.c d¯ˆe’ nghiˆen c´u.u t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a ch´ınh hˆe. ban d¯ˆ` u. Kh´a ai niˆe.m sˆo´ m˜u Lyapunov, trong tru.`o.ng ho..p d¯o.n gia’n nhˆa´t, d¯u.o.. c xˆay du.. ng nhu. sau (tˆa´t nhiˆen d¯ˆo´i v´o.i nh˜u.ng hˆe. tˆo’ng qu´at ho.n d¯i.nh ngh˜ıa s˜e pha’i mo’ rˆ. o.ng ho.n nhiˆe` u).
D- i.nh ngh˜ıa 3.2 Sˆo´ m˜u Lyapunov cu’a hˆe.
˙
x=Ax, x∈ Rn (3.5)
d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa l`a c´ac phˆa` n thu.. c cu’a c´ac sˆo´ riˆeng cu’a ma trˆa. nA.
Nhu. vˆa.y, nˆe´u t´ınh ca’ bˆo.i th`ı hˆe. c´o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ trong Rn c´o ca’ tha’y n sˆo´ m˜u Lyapunov. ´Y ngh˜ıa cu’a sˆo´ m˜u Lyapunov thˆe’ hiˆe.n trong d¯i.nh l´y sau:
D- i.nh l´y 3.2 C´ac kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay d¯´ung:
1. Hˆe. (3.5) ˆo’n d¯i.nh khi v`a chı’ khi tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ m˜u Lyapunov cu’a hˆe. khˆong du.o.ng v`a d¯ˆo´i v´o.i c´ac sˆo´ m˜u Lyapunov b˘a`ng khˆong c´ac sˆo´ riˆeng tu.o.ng ´u.ng c´o c´ac ˆo Jordan da. ng d¯o.n, t´u.c l`a c´ac ˆo Jordan c´o k´ıch c˜o.1×1 m`a thˆoi;
2. Hˆe. (3.5) ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n khi v`a chı’ khi tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ m˜u Lyapunov cu’a hˆe. ˆam.
Ch´u.ng minh. D- i.nh l´y d¯u.o..c suy ra t`u. d¯i.nh l´y trˆen v`a cˆa´u tr´uc cu’a ma trˆa.n co. ba’n etA khi biˆe´t da.ng Jordan J cu’a A. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o thˆe’ x´et tru.´o.c hˆe´t hˆe. ph´u.c, t´u.c l`a hˆe. (3.5) v´o.ix∈Cn. Khi d¯´o tˆ`n ta.i ma trˆa.n khˆong suy biˆe´no P sao choP AP−1 =J. Do d¯´o t´ınh gi´o.i nˆo.i cu’a etA (hay limt→∞etA = 0) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i t´ınh gi´o.i nˆo.i cu’a etJ (hay limt→∞etJ = 0). T`u. d¯ˆay ta nhˆa.n d¯u.o..c c´ac tiˆeu chuˆa’n nˆeu trˆen. Nˆe´u A l`a ma trˆa.n thu. c v`. a x ∈Rn ta x´et phu.o.ng tr`ınh ph´u.c ˙z = Az, z ∈ Cn. Ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh t´ınh tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a kh´ai niˆe.m ˆo’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´o.i hai phu.o.ng tr`ınh theoxv`az
l`a d¯u.o.. c. Tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u hˆe. thu..c (theox ∈Rn) ˆ
o’n d¯i.nh ho˘a.c ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n th`ı hˆe. theo z ∈ Cn c˜ung vˆa.y. D- iˆe` u n`ay hiˆe’n nhiˆen v`ı hˆe. c´ac nghiˆe.m thu. c d¯ˆ. o.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trˆen R
c˜ung d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trˆen C. Do d¯´o nˆe´u hˆe. thu. c ˆ. o’n d¯i.nh (ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n) th`ı hˆe. ph´u.c c˜ung vˆa.y. Ngu.o..c la.i, hˆe. nghiˆe.m thu..c c˜ung l`a c´ac nghiˆe.m riˆeng cu’a hˆe. ph´u.c nˆen nˆe´u hˆe. ph´u.c ˆo’n d¯i.nh th`ı tˆa´t nhiˆen c´ac nghiˆe.m thu. c c˜. ung vˆa.y.
D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh (3.4) ta n´oi x0 l`ad¯iˆe’m k`y di. nˆe´u f(x0) = 0.
D- i.nh l´y 3.3 (Linearized Stability Principle) Gia’ su.’ f(·) kha’ vi liˆen tu. c trong mˆo. t lˆan cˆa. n n`ao d¯´o cu’a d¯iˆe’m k`y di. x0 ∈ U ⊂ Rn sao cho Df(x0) c´o c´ac phˆ` n thu.a . c ˆam. Khi d¯´o d¯iˆe’m k`y di. n`ay l`a ˆo’n d¯i.nh theo Lyapunov.
Tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh cho tru.`o.ng ho.. p sau:
D- i.nh l´y 3.4 Gia’ su.’ f(·)ta. i d¯iˆe’m k`y di. 0∈Rn tho’a m˜an f(x) =
Ax+g(x), trong d¯´o A c´o c´ac phˆ` n thu.a . c ˆam v`a g tho’a m˜an d¯iˆ` ue kiˆe.n Lipschitz to`an cu.c theo x t´u.c l`a
g(x)−g(y) ≤εx−y ,∀x, y∈Rn,
v´o.i hˆe. sˆo´ ε d¯u’ nho’. Khi d¯´o d¯iˆe’m k`y di. n`ay l`a ˆo’n d¯i.nh theo Lya- punov.
Ch´u.ng minh. Tru.´o.c hˆe´t ta thˆa´y hˆe. trˆen luˆon tho’a m˜an c´ac d¯iˆe` u kiˆe.n tˆo`n ta.i v`a duy nhˆa´t nghiˆe.m trˆen to`an cu.c v`a mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`y luˆon th´ac triˆe’n d¯u.o.. c lˆenR mˆo.t c´ach duy nhˆa´t. Gia’ su’. x(t) l`a mˆo.t nghiˆe.m n`ao d¯´o. Du. a v`. ao cˆa´u tr´uc ma trˆa.n m˜u etA c´o thˆe’ chı’ ra c´ac h˘a`ng sˆo´ du.o.ngN, , α sao cho e(t−s)A ≤N e−α(t−s), ∀t ≥s. D- ˘a.t h(t) =g(x(t)). ´Ap du.ng cˆong th´u.c biˆe´n thiˆen h˘a`ng sˆo´ ta c´o
x(t) =e(t−s)Ax(s) +
t
s
Vˆa.y th`ı
x(t) ≤N e−(α(t−s)x(s)+
t
s
εN e−α(t−ξ)x(ξ)dξ, ∀t ≥s.
D- ˘a.t v(t) =eαtx(t) ta c´o v(t)≥0 tho’a m˜an bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c sau
v(t)≤C+K
t
s
v(ξ)dξ, ∀t≥s. (3.6) Vˆa.y th`ı theo bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Gronwall
v(t)≤CeK(t−s). (3.7) T`u. d¯ˆay ta c´o
eαtx(t) ≤ N eαsx(s)eεN(t−s), ∀t≥s
x(t) ≤ N e(α−εN)(t−s)x(s), ∀t≥s.
Tiˆe´p theo, t´ınh ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n cu’a nghiˆe.mx(t)≡0 dˆe˜ d`ang suy ra khi ta cho.n ε < α/N.
Bˆay gi`o. ta ch´u.ng minh D- i.nh l´y 3.3. Tru.´o.c hˆe´t khˆong mˆa´t tˆo’ng qu´at ta coi x0 = 0. D- ˆe’ l`am d¯iˆe` u n`ay ta d¯˘a.t
f0(x) :=
f(x)−Df(0)x, nˆe´u x ≤r
f(rxx )−Df(0)(rxx ), nˆe´u x> r, (3.8)
trong d¯´or >0 l`a mˆo.t h˘a`ng sˆo´ d¯u’ nho’ cho tru.´o.c m`a ta s˜e cho.n sau. Ta s˜e cho.n r >0 d¯u’ nho’ d¯ˆe’ f kha’ vi trong lˆan cˆa.n{x< r}cu’a d¯iˆe’m k`y di. 0. Thˆem n˜u.a, v`ı c´ac sˆo´ m˜u Lyapunov cu’a Df(0) ˆam nˆen tˆ`n ta.i c´ac sˆo´ du.o.ngo N, αsao choetA ≤N e−α(t−s), ∀t≥s. Do t´ınh liˆen tu.c cu’aDf(x) ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n cu’a 0, c´o thˆe’ cho.nrd¯u’ nho’ d¯ˆe’
ε:= sup
x≤2r
Df(x)−Df(0)< α/N. (3.9) V´o.i c´ach d¯i.nh ngh˜ıa cu’af0 ta c´o thˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng
f0(x)−f0(y) ≤εx−y, ∀x, y∈Rn. (3.10) Thˆa.t vˆa.y, nˆe´ux, yc`ung n˘a`m trong h`ınh cˆa` uB(0, r) ho˘a.c c`ung n˘a`m ngo`ai th`ı d¯iˆ` u n`e ay hiˆe’n nhiˆen theo D- i.nh l´y sˆo´ gia gi´o.i nˆo.i. Tru.`o.ng ho.. p, c`on la.i gia’ su’.x ∈ B(0, r) v`a y ∈ B(0, r). Khi d¯´o c´o thˆe’ t`ım d¯u.o.. c d¯iˆe’m z trˆen d¯oa.n th˘a’ng nˆo´i x v´o.i y d¯ˆe’ y=r. Ch´u ´y r˘a`ng
x−y=x−z+z−y. Bˆay gı`o. ´ap du.ng D- i.nh l´y sˆo´ gia gi´o.i nˆo.i chof ta.i x, z, y ta thu d¯u.o.. c d¯´anh gi´a trˆen. X´et phu.o.ng tr`ınh
˙
x=Df(0)x+f0(x) (3.11) R˜o r`ang phu.o.ng tr`ınh n`ay tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a De - i.nh l´y 3.4. Ho.n n˜u.a, nˆe´ux(t) l`a nghiˆe.m cu’a (3.11) sao chox(t)∈B(0, r),∀t≥
0 th`ıx(t) c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a (3.4). Do t´ınh ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n cu’a nghiˆe.m khˆong cu’a (3.11) nghiˆe.m bˆa´t k`y xuˆa´t ph´at trong mˆo.t lˆan cˆa.n d¯u’ nho’ cu’a 0 d¯ˆe` u lu.u la.i v`a dˆa` n d¯ˆe´n 0 do d¯´o n´o c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a (3.4). Nhu. vˆa.y ta d¯˜a chı’ ra r˘a`ng mo.i nghiˆe.m cu’a (3.4) xuˆa´t ph´at t`u. lˆan cˆa.n d¯u’ b´e cu’a 0 s˜e c´o th´ac triˆe’n duy nhˆa´t lˆen to`an khoa’ng [0,∞) v`a hˆo.i tu. t´o.i 0 v´o.i cˆa´p sˆo´ m˜u. N´oi riˆeng, nghiˆe.m 0 cu’a (3.4) ˆo’n d¯i.nh tiˆe.m cˆa.n.
Nhˆa.n x´et 3.2 D- ˆo´i v´o.i hˆe. phu.o.ng tr`ınh khˆong ˆotˆonˆomx˙ =A(t)x, t ≥ t0 ta d¯u.a v`ao kh´ai niˆe.m ˆo’n d¯i.nh m˜u nhu. sau: Hˆe. d¯ang x´et d¯u.o.. c go. i l`a ˆo’n d¯i.nh m˜u nˆe´u tˆo`n ta.i c´ac sˆo´ du.o.ng N, α sao cho nˆe´u
X(t, s) l`a ma trˆa. n Cauchy cu’a hˆe. n`ay th`ı bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c sau d¯ˆay d¯´ung:
X(t, s) ≤N e−α(t−s), ∀t≥s≥t0.
Viˆe.c x´et t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a nghiˆe.m bˆa´t k`y x(t)cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.4) dˆa˜n d¯ˆe´n viˆe.c x´et phu.o.ng tr`ınh y˙(t) = Df(x(t))y(t). Ch´ung tˆoi d`anh cho d¯ˆo. c gia’ tu. ph´. at biˆe’u v`a ch´u.ng minh nguyˆen l´y tuyˆe´n t´ınh h´oa ˆo’n d¯i.nh cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.4) d¯ˆo´i v´o.i nghiˆe.m x(t), su.’ du. ng kh´ai niˆe.m ˆo’n d¯i.nh m˜u v`a t´ınh Lipschitz cu’a phˆa` n du.. Nhu. vˆa. y ngay mˆo. t b`ai to´an ˆotˆonˆom c˜ung dˆa˜n d¯ˆe´n x´et t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a hˆe. khˆong ˆotˆonˆom. D- ˆo´i v´o.i c´ac hˆe. khˆong ˆotˆonˆom c´o nhiˆe` u kh´ai niˆe.m ˆ
o’n d¯i.nh kh´ac nhau v`a d¯˘a.c biˆe.t khˆong c´o c´ac liˆen hˆe. gi˜u.a t´ınh ˆo’n d¯i.nh v´o.i c´ac sˆo´ riˆeng cu’a c´ac ma trˆa.n A(t). D- iˆe` u n`ay l`am cho viˆe.c nghiˆen c´u.u c´ac hˆe. khˆong ˆotˆonˆom thu. c su. . tro. ’ nˆ. en kh´o kh˘an ho.n nhiˆ` u. Trong phˆe ` n phu. lu.c ch´ung ta c´o thˆe’ tham kha’o mˆo.t thuˆa.ta to´an d¯ˆe’ x´et xem khi n`ao mˆo. t d¯a th´u.c c´o c´ac phˆ` n thu.a . c ˆam.