3(a2−ab+b2)(b2−bc+c2)(c2−ca+a2)≥a3b3+b3c3+c3a3.
Lời giải 1.Doa3b3+b3c3+c3a3≤ |a|3|b|3+|b|3|c|3+|c|3|a|3,và (a2−ab+b2)(b2−bc+c2)(c2−ca+a2)
≥ |a|2− |ab|+|b|2
|b|2− |bc|+|c|2
|c|2− |ca|+|a|2
,
nên ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đã cho vớia,b,c≥0.Bây giờ, ta có các đẳng thức sau
4(a2−ab+b2) = (a+b)2−3(a−b)2,
4(b2−bc+c2)(c2−ca+a2) = (2c2−bc−ca+2ab)2+3c2(a−b)2,
nên bất đẳng thứcCauchy – Schwarzcho ta
16(a2−ab+b2)(b2−bc+c2)(c2−ca+a2)
≥
(a+b)(2c2−bc−ca+2ab) +3c(a−b)22 =4[ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)−4abc]2.
Do vậy ta chỉ cần chứng minh
4[ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)−4abc]2≥ 16(a
3b3+b3c3+c3a3)
3 .
Bất đẳng thức này tương đương với từng bất đẳng thức trong dãy sau
∑ab(a+b)−4abc2−4a2b2c2≥43 a3b3+b3c3+c3a3−3a2b2c2,
∑ab(a+b)−2abc ∑ab(a+b)−6abc≥2
3(ab+bc+ca)∑a2(b−c)2,
Do[∑ab(a+b)−2abc]∑a(b−c)2≥2
3∑ab(a+b)∑a(b−c)2nên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là
∑ab(a+b)∑a(b−c)2≥(ab+bc+ca)∑a2(b−c)2,
tương đương với
abc(a+b+c)∑a(b−c)2+∑a2(b−c)4≥0,
hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia=b=choặca2b2+b2c2+c2a2=0.
Lời giải 2.Lập luận tương tự lời giải trước, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức vớia,b,c>0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi đó, với chú ý ở đánh giá
2(x2−xy+y2)2−(x4+y4) = (x−y)4≥0,
ta có thể đưa về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là
9(a4+b4)(b4+c4)(c4+a4)≥8(a3b3+b3c3+c3a3)2.
Sử dụng các kết quả quen thuộc9(x+y)(y+z)(z+x)≥8(x+y+z)(xy+yz+zx),x2+y2+z2≥
xy+yz+zxvà bất đẳng thứcCauchy – Schwarz, ta có
V T ≥8(a4+b4+c4)(a4b4+b4c4+c4a4)
≥8(a2b2+b2c2+c2a2)(a4b4+b4c4+c4a4)
≥8(a3b3+b3c3+c3a3)2=V P.
Chứng minh kết thức tại đây.
Nhận xét.Bằng cách làm tương tự như lời giải 1 và lời giải 2 ở trên, ta cũng chứng minh được
Bài tốn.Nếua,b,c∈Rthì
3(a2−ab+b2)(b2−bc+c2)(c2−ca+a2)≥abc(a3+b3+c3).