Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ,

7. Cấu trúc của luận văn

2.2. Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ,

pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

2.2.1. Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập vectơ và tọa độ trong hình học phẳng dành cho học sinh khá giỏi ở bậc THPT

2.2.1.1. Những kiến thức, kỹ năng, năng lực cần thiết đối với học sinh * Về kiến thức: * Về kiến thức:

- Học sinh phải nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý về vectơ và tọa độ trong hình học phẳng (đã nêu ở phần trƣớc).

- Nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý trong hình học phẳng THCS.

* Về kỹ năng:

- Kỹ năng về thực hành tính tốn, vẽ hình, trình bày lời giải. - Kỹ năng chung để tìm lời giải.

- Kỹ năng khai thác bài toán.

- Kỹ năng sử dụng vectơ và tọa độ trong giải toán.

* Về năng lực:

- Năng lực sử dụng ngơn ngữ. - Năng lực suy luận tốn học.

- Năng lực tiến hành các thao tác tƣ duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa...

- Năng lực tiến hành các hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học: Lật ngƣợc vấn đề, xét tính giải đƣợc, phân chia trƣờng hợp, xét tƣơng ứng...

2.2.1.2. Yêu cầu cơ bản của hệ thống bài tập và một số định hướng xây dựng hệ thống bài tập vectơ và tọa độ phẳng hệ thống bài tập vectơ và tọa độ phẳng

Hệ thống bài tập vectơ và tọa độ phẳng đƣợc xây dựng với mục đích rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh khá giỏi, cho nên cần thiết phải đảm bảo các yêu cầu sau:

- Củng cố vững chắc kiến thức, kỹ năng cơ bản trong chƣơng trình học vấn phổ thơng.

- Tác động đến từng yếu tố thành phần của tƣ duy sáng tạo.

- Gợi cho học sinh niềm say mê, khám phá tìm tịi sáng tạo tốn học. - Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chƣơng trình học.

- Giúp học sinh nâng cao tính độc lập, tính tích cực, sáng tạo trong học tập. - Giúp học sinh rèn luyện các thao tác tƣ duy, các hoạt động trí tuệ tốn học. - Bài tập có tác dụng kiểm tra kết quả học tập, đánh giá đƣợc mức độ phát triển tƣ duy của học sinh.

- Bám sát nội dung chƣơng trình sách giáo khoa hiện hành, khai thác, sử dụng hiệu quả hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.

- Đảm bảo 5 định hƣớng đã nêu ra ở chƣơng I.

- Hệ thống bài tập đƣợc đƣợc chọn, phân loại hợp lý, đảm bảo mục đích đã đề ra, tính khả thi khi sử dụng, tính vừa sức đối với học sinh...

2.2.2. Hệ thống bài tập

Đây là hệ thống bài tập cơ bản theo chƣơng trình và phần nâng cao cho học sinh (nhiều bài tập dành cho học sinh khá giỏi) về vectơ và tọa độ phẳng đối với học sinh trung học phổ thông (ở lớp 10), đã qua thực tế giảng dạy và biên soạn lại. Các bài này đƣợc chọn lọc từ các sách tham khảo, báo toán học và tuổi trẻ, đề thi vào các trƣờng Cao đẳng, Đại học, học sinh giỏi các cấp. Mặt khác, mỗi chùm bài tập thể hiện rõ nét một đến hai thành phần của tƣ duy sáng tạo trong cách giải và phát triển tiếp tới các cách giải mới và bài toán mới.

2.2.2.1. Hệ thống bài tập về đẳng thức vectơ

BT1. Cho ABC nội tiếp đƣờng tròn (O), trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B'

là điểm đối tâm của B. Chứng minh:

a) AH B'C  và AB' HC ; b) OA OB OC OH  c) HA HB HC 2HO  ;

d) Chứng minh G, H, O thẳng hàng và tính OG:OH (Đƣờng thẳng Ơle)

BT2. Cho 2 điểm A, B phân biệt, G trung điểm AB.

a) Chứng minh: GA GB 0  ; b) M ta có: MA MB 2MG  .

BT3. Cho ABC, trọng tâm G.

a) Chứng minh: GA GB GC 0; b) M: MA MB MC 3MG .

BT4. Cho tứ giác ABCD, G là trọng tâm.

a) Chứng minh: GA GB GC GD 0 b) M: MA MB MC MD 4MG 

BT5. Ta có bài tốn tổng quát sau: Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2, G là trọng

tâm của hệ điểm, thì: a) n i i 1 GA 0     b) M: n i i 1 MA n.MG    .

BT6. Cho ABC và A'B'C'.

b) Gọi G và G' là trọng tâm hai tam giác, chứng minh: GG' <1

3(AA'+BB'+CC').

BT7. Cho lục giác ABCDEF, gọi M, N, P, Q, R, S lần lƣợt là trung điểm các

cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

BT8. Cho ABC. Gọi A', B', C' lần lƣợt là các điểm thoả mãn điều kiện:

A'A 2A'B 3A'C 0;2B'A 3B'B B'C 0;3C'A C'B 2C'C 0               

a) Chứng minh 6 trung tuyến của ABC và A'B'C' đồng quy.

b) Chứng minh mỗi trung tuyến của tam giác này thì song song với một cạnh tƣơng ứng của tam giác kia.

BT9. Cho ABC, M trung điểm AB, NAC thoả mãn: NC = 2NA, E trung điểm MN, F trung điểm BC. Chứng minh:

a) AE 1AB 1AC 4 6      ; b) AF 1AB 1AC 4 3      .

BT10. Cho ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:

AM.BC BN.CA CP.AB 0       

BT11. Cho ABC đều tâm O, điểm M bất kỳ trong tam giác. Gọi D, E, F là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Chứng minh: MD ME MF 3MO

2

  

    .

BT12. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh:

AB.CD AC.DB AD.BC 0     .(Hệ thức Ơle)

Suy ra định lý: Trong một tam giác thì 3 đƣờng cao đồng quy.

BT13. Cho ABC, các điểm I, J, K đƣợc xác định nhƣ sau:

1 IB 2IC;JC JA 2        ; KA KA. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

BT14. Cho ABC, điểm J chia BC thẻo tỉ số -3, điểm N chia AC theo tỉ số -1, điểm K chia BA theo tỉ số 3.

b) Tính các tỉ số: IB:IN, AI: AJ, với I = AJBN.

BT15. Cho ABC, 3 điểm M, N, P trên 3 cạnh BC, CA, AB chia 3 đoạn đó theo tỉ lệ , , . Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng.

BT16. Cho hình bình hành ABCD, HBC, KBD: BH 1BC; 5    1 BK BD 6    . Chứng minh A, H, K thẳng hàng.

BT17. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm đƣợc xác định bởi:

AI AB;AF  AC;AK  AD, với 0.

Chứng minh điều kiện cần và đủ để I,F,K thẳng hàng là: 1   1

  .

BT18. Cho tứ giác ABCD, các điểm X,Y,Z,T lần lƣợt là trọng tâm các tam

giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh các đƣờng thẳng AX, BY, CZ, DT đồng quy tại trọng tâm tứ giác.

BT19. Cho 2 điểm phân biệt A,B và hai số thực , thoả mãn +0, thì:

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IA  IB 0 

b) M: MA MB (   )MI

Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm A,B theo bộ số (,).

BT20. Cho ABC và 3 số thực ,, thoả mãn: ++0, thì:

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IA    IB IC 0 

b) M: MA MB MC (     )MI.

Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A,B,C theo bộ số (,,).

BT21. (Tổng quát) Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2 và n số thực 1, 2,...,n thoả mãn: 1+2+...+n0, thì:

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: n i i 1 IA 0     b) M: n i 1 2 n i 1 MA ( ... )MI          

2.2.2.2. Hệ thống bài tập về tập hợp điểm

BT22. Cho ABC. Tìm tập hợp M thoả mãn:

1) MA MB MC 0  ; 2) MA MB MC 0   3) MA MB 2MC 0  4) MA MB 2MC 0  5) MA MB MC   6) | MA MB| | MC|   

7) | MA MB| 2 | MC|   

BT23. Cho ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

1) MA 2MB 3MC 0   2) MA 2MB 3MC 0  

BT24. Cho tứ giác ABCD, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

1) MA 2MB MC 2MD 0      ; 2) MA 2MB 5MC 2MD 0   

BT25. Cho ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

1) | 3MA 2MB MC| | MB MA |     

2) 2| MA MB MC| 3| MB MC|      

3) | MA 3MB 2MC| | 2MA MB MC|       

4) 2| MA MB MC| | MA 2MB 3MC|        ; 5) | 2MA MB| | 4MB MC|    

BT26. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

1) | MA MB MC MD| | MA MB 2MC|          

2) 4| 2MA MB 3MC MD| 3| 2MB 3MC MD|        

BT27. Cho ABC vuông tại A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D,E,F là hình chiếu của M lên BC, CA, AB.

Tìm tập hợp các điểm M sao cho: | MD ME MF| | MA |      .

BT28. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đƣờng trịn (O). Tìm điểm M thuộc (O)

sao cho biểu thức | MA MB MC|    đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

BT29. Cho 2 điểm cố định A,B, k là số thực.

BT30. Cho điểm A cố định, vectơ a0 không đổi, k là một số thực. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: AM.a k   .

BT31: Cho 2 điểm A,B phân biệt và số dƣơng k1.

Tìm tập hợp điểm M sao cho MA:MB = k.

BT32. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

1) (MB MC)(MA 2MB 3MC) 0      

2) (MA MB MC)(MA 2MB 3MC) 0        

BT33. Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho: AM.AB AC.AB  

BT34. Cho tứ giác ABCD, I, J là trung điểm các cạnh AB, CD.

Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 1 2

MA.MB MC.MD IJ

2

 

   

BT35. Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho: MA.MB 1 2   

(MC2-MA2-MB2).

BT36. Cho ABC đều cạnh a nội tiếp đƣờng trịn (O,R). Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: MB.MC MC.MA MA.MB 3a    2.

BT37. Cho hình vng ABCD cạnh a.

Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA2+MB2+MC2-3MD2 = 4

3  a2.

BT38. Cho ABC, tìm tập hợp M thoả mãn:

1) MB.MC MB.MG AB     2, G trọng tâm tam giác. 2) (2MA 3MB)(MA 2MB) 0     ;

3) (2MA 3MB)(MA MB MC) 0      

4) MB2 + MC2 = 3 MB.MC ; 5) 2MA2 + MB2 = 2MC2.

2.2.2.3. Hệ thống bài tập về tọa độ và vectơ trên trục

BT39. Trên trục x'Ox cho 4 điểm M,A,B,C. Chứng minh:

2) MA .BC MB .CA MC .AB BC.CA.AB 02  2  2   ( Hệ thức Stewart)

BT40. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D; I trung điểm AB, K trung điểm

CD. Chứng minh các điều kiện sau là tƣơng đƣơng.

1) CA DA

CB  DB; 2) 2 1 1

AB AC AD  ( Hệ thức Đềcác) 3) IA2 IC.ID( Hệ thức Newton);

4) AC.AD AB.AK (Hệ thức Macloranh)

BT41. Trên trục x'Ox, cho 3 điểm A,B,C. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm

M thoả mãn: MA3MB3MC3 3MA.MB.MC 0

BT42. Cho (ABCD) = -1. Chứng minh:

1) CA.DB CB.DA 0  ; 2) 2(ab + cd) = (a + c)(b + d)

3) 1 1 1 1 0 CA CB DA DB    ; 4) BA 2.DA BC  DC 5) 2 CA OA CB OB        , O trung điểm CD.

BT43. (Định lý Mênêlauyt) Cho ABC, 3 điểm M, N, P theo thứ tự trên các đƣờng BC, CA, AB. Chứng minh M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi:

MB NC PA

. . 1

MC NA PB  .

BT44. (Định lý Xêva) Cho ABC, 3 điểm M,N,P theo thứ tự trên các đƣờng BC,CA,AB. Chứng minh các đƣờng thẳng AM,BN,CP đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi: MB NC PA. . 1

MC NA PB   .

BT45. Cho ABC. Trên các cạnh CA,CB lấy M,N sao cho: AM = 3MC, CN =

2NB. Gọi O = ANBM. Tính diện tích ABC biết diện tích OBN bằng 1.

BT46. Cho ABC có 3 canh a,b,c. Vẽ các phân giác AA', BB', CC'. Gọi I là giao điểm của AA' và B'C'. Tính tỉ số: IB':IC'.

BT47. Cho 3 tia Ox,Oy,Oz. Trên Ox lấy A,A', trên Oy lấy B,B', trên Oz lấy

C,C' . Đặt M = BCB'C', N = CAC'A', P = ABA'B'. Chứng minh: M,N,P thẳng hàng. (Định lý Đêdacgơ)

BT48. (Định lý Cácnô) Cho ABC, các điểm M,N,P thuộc BC, CA, AB. Các đƣờng thẳng d1, d2, d3 lần lƣợt qua M, N, P và vng góc với BC, CA, AB. Chứng minh d1, d2, d3 đồng quy khi và chỉ khi:

(MB2 - MC2) + (NC2 - NA2) + (PA2 - PB2) = 0.

2.2.2.4. Hệ thống bài tập về hệ trục tọa độ và phương trình đường thẳng

BT49. Cho ABC biết A = (-1,3), B = (-3,-2), C = (4,1).

1) Chứng minh ABC vng cân; 2) Tìm tọa độ trọng tâm G. 3) Tìm tọa độ tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác.

BT50. Cho ABC, biết A = (2,6), B = (-3,-4), C = (5,0). Tìm tọa độ trực tâm,

trọng tâm, tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác.

BT51. Cho điểm P = (3,2). Tìm điểm M,N trên Ox cách nhau 8 đơn vị sao

cho PM+PN nhỏ nhất.

BT52. Cho ABC đều cạnh a. Lấy các điểm M, N thoả mãn: 3BM BC; 

3AN AB . Gọi I = AMCN. Chứng minh: BIC = 900.

BT53. Cho hình vng ABCD, gọi E,F là các điểm xác định bởi:

3BE BC;2CF    CD, và I = AEBF. Chứng minh: AIC = 900.

BT54. Cho hình vng ABCD, M là điểm trên đoạn AC, chiếu lên AB và

BC đƣợc E và F. Chứng minh CE  DF.

BT55. Cho hình vng ABCD, E là trung điểm của AB, F là điểm sao cho:

3AF AD . Xác định vị trí điểm M trên BC sao cho EFM = 1v. 

BT56. Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của M

trên AC, E là trung điểm của MH. Chứng minh AE  BH.

OA.OA ' OB.OB'   . Chứng minh trung tuyến OM của AOB vng góc A'B'.

BT58. Cho hình vng ABCD. Các điểm M,N trên BA, BC sao cho BM =

BN, H là hình chiếu của B lên CM. Chứng minh: DHN = 900.

BT59. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tìm tập hợp M sao cho:

MA2 + MB2 + MC2 - 3MD2 = 4

3  a2.

BT60. Cho đoạn thẳng AB cố định, 2 tia Ax, By vng góc với AB và cùng

chiều. Lấy M trên tia Ax, N trên tia By sao cho MN = AM+BN. Chứng minh đƣờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đƣờng tròn cố định.

BT61. Cho hình vng ABCD. Điểm M trên đƣờng chéo AC, có hình chiếu

lên AD, DC là E,F. Chứng minh: CE = BF và vng góc.

BT62. Cho ABC, biết A = (2,2), hai đƣờng cao có phƣơng trình

(d): 9x - 3y - 4 = 0 và (d'): x + y - 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?

BT63. Cho ABC, biết A = (1,3) và hai trung tuyến có phƣơng trình:

(d): x - 3y + 1 = 0 và (d'): y - 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B,C.

BT64. Cho ABC biết A = (2,4), hai đƣờng phân giác trong qua B,C là :