Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị

CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2.3. Thiết kế các hoạt động dạ y– học chủ đề phương trình, hệ phương trình lớp

2.3.5. Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị

a) Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị :

Để giải phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 (tức là ax2 = – bx – c) bằng đồ

thị, ta vẽ parabol y = ax2

và đường thẳng y = – bx – c trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định hoành độ các giao điểm của chúng (nếu có).

Nếu đường thẳng cắt parabol tại hai điểm (h.1a) thì phương trình có hai nghiệm (trường hợp này ứng với  0)

Nếu đường thẳng không giao với parabol (h.1b) thì phương trình vơ nghiệm (trường hợp này ứng với  0)

Nếu đường thẳng tiếp xúc với parabol (h.1c) thì phương trình có nghiệm kép (trường hợp này ứng với  0)

Hình 1

Chú ý: một đường thẳng gọi là tiếp xúc với parabol nếu nó có một điểm chung duy nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng (h.1c). Ở hình 1d, đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung với parabol nhưng ta

khơng gọi là tiếp xúc với parabol.

b) Vị trí tương đối giữa parabol y = ax2

(a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n Xét phương trình ax2

= mx + n tức là ax2 – mx – n = 0 Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt (1) có  0

Đường thẳng khơng giao với parabol (1) có  0

Đường thẳng tiếp xúc với parabol (1) có  0

Bài tốn 1. Cho phương trình

x2 – 2x – 2m + 1= 0. Hãy xác định m sao cho:

a. Phương trình vơ nghiệm.

b. Phương trình có đúng một nghiệm dương. c. Phương trình có nghiệm dương.

d. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. [5]

Hoạt động dạy học khám phá

Giai đoạn 1. Giáo viên đưa ra bài toán để học sinh nhận nhiệm vụ giải bài.

Giai đoạn 2. Học sinh tiến hành tự khám phá cách làm bài và khám phá dưới sự hướng dẫn của giáo viên.

- Các nhóm học sinh gợi nhớ kiến thức được trang bị, kinh nghiệm giải tốn đã có để tự giải quyết vấn đề, khám phá những tri thức mới.

- Tại thời điểm đó, giáo viên theo dõi, nếu thấy người học gặp trở ngại khi tìm kiếm và thực hiện phương án giải tốn thì giáo viên đưa ra định hướng.

[?] Bài tốn này có mấy cách giải? Em lựa chọn cách nào? Vì sao? [!] Có 2 cách:

Cách 1: sử dụng hệ thức Vi-et

Cách 2: Sử dụng đồ thị để xét số nghiệm của phương trình bậc hai có chứa tham số. Ta thấy PT  x2

– 2x = 2m – 1 (1) có vế trái khơng chứa tham số m, còn vế phải là một biểu thức của m. Một phương trình có đặc điểm như thế được gọi là PT tách được tham số. Để giải một số bài toán về số nghiệm của những phương trình có tính chất đó, trong nhiều trường hợp ta dùng đồ thị là có lợi do tính ngắn gọn của nó và tính trực giác.

[?] Hãy trình bày các bước giải? [!] Vẽ đồ thị (P) y = x2

– 2x

Nhận xét: Đồ thị là một Parabol quay lên Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có tọa độ (0;0), ( 2;0) Đỉnh của Parabol là I (1; – 1)

Đường thẳng (d) : y = 2m – 1 là một đường thẳng cùng phương với trục Ox

PT vô nghiệm  đường thẳng (d) : y = 2m – 1 Hình 2 khơng cắt đồ thị (P)

PT có nghiệm  đường thẳng (d) : y = 2m – 1 có điểm chung với đồ thị (P).

Giai đoạn 3. Đại diện nhóm hoặc cá nhân học sinh trình bày cách giải cụ thể trước

các bạn và cả lớp thảo luận. Áp dụng :

a. Phương trình vơ nghiệm  đường thẳng (d) : y = 2m – 1 không cắt đồ thị (P)

 2m – 1  –1  m  0

b. Phương trình có đúng một nghiệm dương  2m – 1  0  m  1 2

d. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  –1  2m – 1  0  0  m  1 2

Giai đoạn 4. Giáo viên tổng kết và cho bài tương tự

1/ Cho phương trình: x2 + 4x – 3m + 2 = 0. Hãy xác định m để cho a. Phương trình vơ nghiệm.

b. Phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn 1. c. Phương trình có nghiệm lớn hơn 1.

d. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. [5]

2/ Cho parabol y = ax2 tiếp xúc với đường thẳng y = x – 1 a. Xác định hệ số a

b. Tìm tọa độ tiếp điểm của đường thẳng và parabol

c. Vẽ parabol và đường thẳng nói trên cùng mơt hệ trục tọa độ

Hƣớng dẫn

a. Điều kiện để parabol y = ax2

tiếp xúc với đường thẳng y = x – 1 là phương trình

ax2 = x – 1 có nghiệm kép.

(1) ax2  x 1 0 có   1 4a

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm kép là

a0 và    0 a 0 và 1 – 4a = 0 1 4

a

 

b. Hồnh độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình 1 2

1 0 4x   x Giải phương trình trên ta có

 2 2 4 4 0 2 0 2 x x x x         Với x = 2 thì 1 2 2 1 4 y . 

Tọa độ của tiếp điểm A là (2; 1). c. Xem hình bên

Bài tốn 2. Cho parabol y = 1 2 2x

a) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x – 2 (d1) tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ

của tiếp điểm.

b) Cho biết điều kiện để hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ vng góc với nhau là aa’ = – 1. Xác định tiếp tuyến d2 của parabol sao cho d1d2

c) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2

d) Chứng minh rằng giao điểm các tiếp tuyến của parabol mà vng góc với nhau nằm trên đường thẳng 1

2

y  

Hoạt động dạy học khám phá

Giai đoạn 1. Giáo viên đưa ra bài toán để học sinh nhận nhiệm vụ giải bài.

Giai đoạn 2. Học sinh tiến hành tự khám phá cách làm bài và khám phá dưới sự hướng dẫn của giáo viên

- Các nhóm học sinh gợi nhớ kiến thức được trang bị, kinh nghiệm giải tốn đã có để tự giải quyết vấn đề, khám phá những tri thức mới.

- Tại thời điểm đó, giáo viên theo dõi, nếu thấy người học gặp trở ngại khi tìm kiếm và thực hiện phương án giải tốn thì giáo viên đưa ra định hướng.

[?] Khi nào thì đường thẳng tiếp xúc với parabol?

[!] Khi có một cặp giá trị của (x; y) thỏa mãn hệ phương trình

2 2 1 2 2 y x – y x      

Hay ta nói PT hồnh độ của điểm tiếp xúc 1 2

2 2

2x  x có nghiệm kép. [?] Để xác định tiếp tuyến d2 của parabol ta phải khai thác giả thiết thế nào? [!] Viết dạng phương trình đường thẳng d2 là y = mx + n, biết y = 2x – 2 (d1) Kết hợp điều kiện của hai đường thẳng vng góc với nhau để tìm hệ số m. Hiểu tiếp tuyến của parabol tức là đường thằng d2 tiếp xúc parabol y = 1 2

2x để tìm n trong phương trình hồnh độ của điểm tiếp xúc dựa vào điều kiện  0.

[!] Câu c) học sinh tự làm. [?] Định hướng làm câu d?

[!] Viết dạng phương trình của hai đường thẳng tiếp tuyến của parabol là y = ax + b và y = a’x + b’ rồi tìm tọa độ giao điểm x và y đều là biểu thức của a, b, a’, b’. Sau đó sử dụng giả thiết các tiếp tuyến của parabol vng góc với nhau để có được

a.a’ = 0 và 2 2 2 0 2 0 a b a' b'       

 . Khi này kết hợp các điều kiện ta biểu thị b, a’, b’ theo a

để tính y. Ta chứng minh được y = 1 2

 .

Giai đoạn 3. Đại diện nhóm hoặc cá nhân học sinh trình bày cách giải cụ thể trước

các bạn và cả lớp thảo luận.

a) Để chứng minh đường thẳng y = 2x – 2 (d1) tiếp xúc với parabol y =1 2 2x , ta chứng minh phương trình 1 2 2 2 2x  x có nghiệm kép. Thật vậy: (1) 2 2 4 4 0 2 0 x x (x )        Nghiệm kép là x1 = x2 = 2. Khi đó y = 1 2 1 4 2 2x  2. 

Tọa độ của tiếp điểm là A (2 ; 2) b) Gọi đường thẳng d2 là y = mx + n Do d1 d2 nên m.2 = –1, do đó m = –1 2. Đường thẳng d2 có dạng y = 1 2x n  

d2 là tiếp tuyến của parabol y =1 2 2x

phương trình 1 2 1

2x  2x + n (2) có nghiệm kép. (2) x2 x 2n   0; 1 8n

(2) có nghiệm kép 0 1 8 0 1 8 n n         Phương trình của d2 là y = 1 1 2x 8  

c) Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình sau: 2 2 1 1 2 8 y x y x         

Giải HPT trên ta được : x =3 1 4 ; y 2 Tọa độ giao điểm của d1 và d2là B (3 ; 1

4 2)

d) Xét hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ vng góc với nhau aa’ = – 1 Trước hết ta tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng đó:

ax + b = a’x + b’   b' b a a' x b' b x (do a a') a a'          Do đó : a(b' b) a b' a' b) y ax b b a a' a a'         

Điều kiện để hai đường thẳng trên tiếp xúc với parabol y = 1 2

2x là các phương trình 2 1 2x = ax + b và 2 1 2x = a’x + b’ có nghiệm kép, tức là 2 2 2 0 2 0 a b a' b'         Ta cần chứng minh y = 1 2  từ các điều kiện: a b' a' b y a a'    ; aa’ = – 1 ; 2 2 2 0 2 0 a  b ; a'  b' 

Biểu thị b, a’, b’ theo a ta được : 2 2 2 1 1 2 2 2 a a' b ; a' ; b' a a         Do đó 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 a a a a a a b' a' b) a y . a a a' a a a                                    [1]

Vậy giao điểm các tiếp tuyến của parabol mà vng góc với nhau nằm trên đường thẳng y = 1

2

 .

Giai đoạn 4. Giáo viên tổng kết

+ Yêu cầu HS nhận xét bài làm và kết quả, GV đưa ra kết luận về bài toán. + GV cho bài tập củng cố

Bài tập: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x +3 và parabol (P): y = x2.

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ là các số nguyên.

Kết luận chƣơng 2

Tóm lại chương 2, chúng ta đã tổng hợp các dạng toán cơ bản và nâng cao của hệ phương trình hai ẩn và phương trình bậc nhất một ẩn cùng phương pháp giải; đề cập một số cách tạo tình huống khám phá trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình lớp 9 đồng thời thiết kế một số hoạt động cụ thể cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học nội dung này. Có thể thấy rằng, nhiều tình huống khám phá đã được tạo ra đối với chủ đề này, như dựa vào tình huống có sẵn trong thực tiễn; tạo tình huống khám phá từ các kiến thức đã học và lật ngược vấn đề khám phá. Qua việc thiết kế các hoạt động dạy học này tôi cũng đã tổng kết, nghiên cứu và đưa ra một số kết quả cần thiết trong việc giải phương trình, hệ phương trình, chẳng hạn như: giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, giải phương trình quy về PT bậc hai. Điều đó chứng tỏ rằng mặc dù việc tạo ra tình

huống khám phá là khó khăn đối với nhiều thầy cô giáo và việc thiết kế các hoạt động khám phá có thể làm mất khá nhiều thời gian, công sức nhưng nếu đầu tư một cách hợp lí thì chúng ta vẫn có thể khắc phục được những khó khăn để đưa phương pháp dạy học khám phá vào áp dụng trong dạy học ở trường THCS, đặc biệt là dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình lớp 9.

Bằng việc gợi mở ra những tình huống cụ thể, chương này đã phần nào giải quyết những vướng mắc, loại bỏ được những rào cản trong việc áp dụng phương pháp dạy học khám phá vào dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình lớp 9.

Ở chương tiếp theo của luận văn sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính hiệu quả của việc ứng dụng PPDH khám phá trong các giáo án và bài kiểm tra được nêu ở phần phụ lục.