3 Bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II
3.2nh lẵ tỗn tÔi nghiằm
nh lỵ 3.1. Dữợi Ơy l iÃu kiằn ừ cho b i to¡n (GEP)II câ nghi»m: (i) D l têp con khĂc rộng, lỗi, compưc;
(ii) P1 : D → 2D l Ănh xÔ a tr cõ mởt têp õng im bĐt ởng khĂc réng D0 = {x ∈ D | x∈ P1(x)};
(iii) P2 : D → 2D l Ănh xÔ a tr vợi P2(x) 6= ∅ v P2−1(x) m v bao lỗi coP2(x) cõa P2(x) chùa P1(x) vỵi méi x ∈ D;
(iv) Q : D ×D → 2K l Ănh xƠ a tr sao cho vợi t∈ D cố nh, Ănh xÔ a trà Q(., t) : D →2K l nỷa liản tửc dữợi;
(v) Vỵi t ∈ D cè ành tªp
B = {t∈ D | 0∈ F(y, x, t) vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
l mð trong D;
(vi) F : K ×D ×D →2Y l Ănh xÔ a tr Q- KKM.
Chựng minh. nh xÔ a tr M : D → 2D ÷đc x¡c ành nh÷ sau:
M(x) = {t∈ D | 0∈ F(y, x, t) vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
Ta thĐy rơng vợi x¯ ∈ D, x¯∈ P1(¯x), m M(¯x)∩P2(¯x) =∅, th¼
0 ∈ F(y,x, t),¯ ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Do õ nh lẵ ữủc chựng minh xong. BƠy giớ ta ch ra sỹ tỗn tƠi cừa x¯. Thªt vªy, gi£ sỷ rơng vợi bĐt kẳ x ∈ P1(x) thäa m¢n M(x)∩P2(x) 6= ∅. Xt Ănh xÔ a tr H : D → 2D x¡c ành bði
H(x) =
(coM)(x)∩(coP2)(x), khi x ∈ P1(x);
P2(x), khi x 6 P1(x).
é Ơy (coN)(x) = coN(x). Tiáp án ta kh¯ng ành rơng náu vợi bĐt kẳ y ∈ D, N−1(y) l m thẳ (coN)1(y) m. Thêt vêy giÊ sỷ y ∈ D
v x ∈ co(N(x)) th¼ y ∈ (coN)−1(y), y =
n P i=1 αiyi, vỵi 0 ≤ αi ≤ 1, n P i=1
αi = 1, yi ∈ N(x), suy ra x ∈ N−1(yi), i = 1,2, ..., n. Tø N−1(yi),
i = 1,2, ..., n l mð, cõ mởt lƠn cên U(x) cừa x sao cho U(x) ⊆ N−1(yi),
∀i = 1,2, ..., n, k²o theo yi ∈ N(z), ∀z ∈ U(x) v i = 1,2, ..., n. Do â y =
n
P
i=1
αiyi ∈ (coN)(z) vỵi z ∈ U(x) v U(x) ⊆ (coN)−1(y) vẳ thá
(coN)−1(y) l mð.
BƠy giớ ta ch ra H thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa nh lẵ 1.18. Thêt vêy, vợi x ∈ D, x ∈ P1(x), M(x) ∩ P2(x) 6= ∅, ta câ H(x) 6= ∅ v
D = ∪x∈DH−1(x). Tø gi£ thi¸t (v) thẳ vợi bĐt kẳ x ∈ D, M−1(x) l tªp mð, k²o theo
trong â D0 = {x ∈ D : x ∈ P1(x)} l tªp con âng trong D. Do â
H−1(x) l tªp mð trong D, ∀x ∈ D. Hìn núa, n¸u câ x¯ ∈ D sao cho
¯ x ∈ H(¯x) = coM(¯x) ∩coP2(¯x), thẳ cõ th tẳm ữủc t1, t2, ..., tn ∈ M(¯x) sao cho x¯= n P i=1 αiti, αi ≥ 0, Pn i=1
αi = 1. Tø ành ngh¾a cõa M ta câ
06∈ F(y, x, tj) vỵi mët v i y ∈ Q(x, tj)},∀i = 1,2, ..., n.
Vỵi F l QKKM cõ th tẳm ữủc mởt ch số j = 1,2, ..., n sao cho
0∈ F(y, x, tj),∀y ∈ Q(x, tj).
Do õ ta cõ sỹ mƠu thuăn.
Vêy vợi bĐt kẳ x ∈ D, x 6∈ H(x). p dửng nh lẵ 1.18 suy ra tỗn tÔi
¯
x ∈ D sao cho H(¯x) = . Náu x P1(x) thẳ H(x) = P2(x) = ∅, i·u n y khæng thº x£y ra. Do õ, ta kát luên rơng x ∈ P1(¯x) v H(¯x) = coM(¯x) ∩ coP2(¯x) = ∅. Nhữ vêy ta cõ sỹ mƠu thuăn v nh lẵ ữủc chựng minh xong.
3.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan
Mët sè ùng dửng cừa nh lẵ 3.1 l chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng, bi toĂn bao hm thực bián phƠn,..., cõ thº ch¿ ra trong c¡c h» qu£ sau.
H» qu£ 3.2. Cho D, K, P1, P2, Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sỷ Φ :
K ×D×D → Rl h m sè (Q, R+)tỹa lỗi theo ữớng cho vợi (y, x, x) = 0, ∀y ∈ K, x ∈ D.
Gi£ sû vỵi t ∈ D cè ành, h m sè Φ(., ., t) : K ìD R l nỷa liản tc trn, th tn tÔi x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
Chùng minh. °t F(y, x, t) = Φ(y, x, t)−R+ vỵi (y, x, t) ∈ K ×D×D. Ta thĐy rơng vợi t∈ D cè ành tªp
B = {x ∈ D |0 6∈ F(y, x, t) vợi bĐt kẳ y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | Φ(y, x, t) < 0}
l mð trongD. TøΦl (Q, R+)tỹa lỗi theo ữớng cho ối vợi bián thự 3 suy ra vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, t2, ..., tn}
câ mët j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
Φ(y, x, tj) ∈ Φ(y, x, x) + R+, ∀y ∈ Q(x, tj).
i·u n y ngh¾a l Φ(y, x, tj) ≥ 0 v 0∈ F(y, x, tj), ∀y ∈ Q(x, tj). Do â
F l Ănh xƠ a tr Q−KKM tø K×D×D v o 2R. Vẳ vêy P1, P2, Q v
F thäa m¢n måi i·u ki»n cõa ành lẵ 3.1, suy ra tỗn tÔi x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
0 ∈ F(y,x, t),¯ ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
i·u n y tữỡng ữỡng vợi
(y,x, t)¯ ≥ 0, ∀t∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
H» qu£ 3.3. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sỷ G, H :
K ×D×D → 2Y l cĂc Ănh xÔ a tr vợi giĂ trà compc v G(y, x, x) ⊆
H(y, x, x) +C(y, x) vỵi (y, x) ∈ K×D. Gi£ sû C : K ×D → 2Y l ¡nh xÔ nõn a tr vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng. Hỡn nỳa, náu
(i) Vỵi t ∈ D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., ., t) : K ×D → 2Y l (−C)−
liản tửc dữợi v Ănh xƠ a trà N : K ×D → 2Y x¡c ành bði N(y, x) =
(ii) G l (Q, C)tỹa lỗi trản theo ữớng cho ối vợi bián thự 3 thẳ tỗn tÔi x∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
G(y,x, t)¯ ⊆ H(y,x,¯ x) +¯ C(y,x),¯ ∀t∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Chựng minh. CĂc Ănh xÔ a tr
M : K ×D → 2X, F : K ×D ×D → 2D
÷đc x¡c ành bði:
M(y, x) ={t ∈ D | G(y, x, t) ⊆H(y, x, x) + C(y, x)},(y, x) ∈ K ×D; F(y, x, t) =t−M(y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Vỵi t ∈ D cè ành, tªp
A= {x ∈ D | 0∈ F(y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | t ∈ M(y, x), ∀y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x), ∀y ∈ Q(x, t)}
l âng trong D. Thêt vêy, giÊ sỷ dÂy {xα} ⊂ A v xα → x, lĐy tũy ỵ
y ∈ Q(x, t). Tø Q(., t) l Ănh xÔ nỷa liản tửc trản v xα → x suy ra tỗn tƠi d¢y {yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα → y. Vợi bĐt kẳ lƠn cên V cõa gèc trong Y câ mët ch¿ sè α0 sao cho ∀α ≤ α0 ta câ
G(y, x, t) ⊆ G(yα, xα, t) +V +C(yα, xα)
⊆H(yα, xα, xα) +V +C(yα, xα) ⊆ H(y, x, x) + 2V +C(y, x).
i·u n y v gi¡ trà compc cõa H dăn án
G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x),
v do â x ∈ A. Vªy A l âng trong D v tªp
l mð trong D
Hìn núa, tøG(y, x, x) ⊆ H(y, x, x)+C(y, x) vợi bĐt kẳ(y, x) ∈ K×D
v G l (Q, C)−tỹa lỗi trản theo ữớng cho ối vợi bián thự 3, suy ra vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, t2, ..., tn} câ mët
j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
G(y, x, tj) ⊆ G(y, x, x) +C(y, x) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x), ∀y ∈ Q(x, t).
iÃu ny dăn án 0 ∈ F(y, x, tj) v F l Ănh xÔ a trà Q−KKM. Vêy Ăp dửng nh lẵ 3.1 suy ra tỗn tÔi x ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
0 ∈ F(y, ξ,x, t),¯ ∀t ∈ P2(¯x) v (y, ξ) ∈ Q(¯x, t).
i·u ny tữỡng ữỡng vợi
G(y,x, t)¯ ⊆ H(y,x,¯ x) +¯ C(y,x),¯ ∀t∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Tữỡng tỹ hằ quÊ trản ta cõ hằ quÊ sau:
H» qu£ 3.4. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. Gi£ sû G, H :
K ×D×D → 2Y l c¡c Ănh xÔ a tr vợi giĂ tr compưc v H(y, x, x) ⊆
G(y, x, x)−C(y, x) vỵi (y, x) ∈ K×D. Gi£ sû C : K ×D →2Y l ¡nh xÔ nõn a tr vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng. Hỡn nỳa, náu
(i) Vỵi t ∈ D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., ., t) : K ×D → 2Y l (−C)−
liản tửc trản v Ănh xÔ a trà N : K ×D → 2Y x¡c ành bði N(y, x) =
H(y, x, x) l C −liản tửc dữợi;
(ii) G l (Q, C)tỹa lỗi trản theo ữớng cho ối vợi bián thự 3 thẳ tỗn tÔi x∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
Chùng minh. Chùng minh t÷ìng tü H» qu£ 3.3.
H» qu£ 3.5. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sỷ G, H :
K ×D×D → 2Y l cĂc Ănh xÔ a tr vợi giĂ trà compc v . Gi£ sû
C : K ×D → 2Y l Ănh xÔ a tr nõn vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng. Hỡn nỳa, náu
(i) Vỵi t ∈ D cố nh, Ănh xÔ a tr G(., ., t) : K ìD 2Y l (C)
liản tc trản v nh xƠ a tr N : K ×D → 2Y x¡c ành bði N(y, x) =
H(y, x, x) l C −li¶n tưc tr¶n;
(ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hƠn {t1, t2, ..., tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, ..., tn} câ mët j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
G(y, x, tj) 6⊆H(y, x, x) +intC(y, x), ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t),
thẳ tỗn tÔi x∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
G(y,x, t)¯ 6⊆ H(y,x,¯ x) +¯ intC(y,x),¯ ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Chựng minh. CĂc Ănh xÔ a tr
M : K ×D → 2X, F : K ×D ×D → 2D
÷đc x¡c ành bði:
M(y, x) = {t ∈ D | G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) +intC(y, x)},(y, x) ∈ K×D; F(y, x, t) =t−M(y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Vỵi t ∈ D cè ành, tªp
A= {x ∈ D | 0∈ F(y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | t ∈ M(y, x), ∀y ∈ Q(x, t)}
l âng trong D. Thêt vêy, giÊ sỷ dÂy {xα} ⊂ D v xα → x, lĐy tũy ỵ
y ∈ Q(x, t). Tø Q(., t) l Ănh xÔ nỷa liản tửc dữợi v xα →x suy ra tỗn tÔi dÂy {yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα → y. Vợi bĐt kẳ lƠn cên V cõa gèc trong Y câ mët ch¿ sè α0 sao cho ∀α ≤ α0 ta câ c¡c bao h m thùc sau
G(yα, xα, t) ⊆G(y, x, t) +V −C(y, x),
H(y, x, x) ⊆H(yα, xα, xα) +V +C(yα, xα).
Vỵi xα ∈ A, ta câ
G(yα, xα, t) 6⊆ H(yα, xα, xα) +intC(yα, xα).
v
G(y, x, t) +V −C(y, x) 6⊆H(yα, xα, xα) +intC(yα, xα) +C(yα, xα).
Do â
G(y, x, t) +V −C(y, x) 6⊆ H(y, x, x) +V +intC(y, x).
v ta câ
G(y, x, t) +V 6⊆H(y, x, x) +intC(y, x)
vợi bĐt kẳ lƠn cên V cõa gèc trong Y. BƠy giớ giÊ sỷ rơng
G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +intC(y, x).
Vợi bĐt kẳ lƠn cên Vα cõa gèc trong Y, tỗn tÔi aα ∈ G(y, x, t), vα ∈ Vα
v aα + vα 6∈ H(y, x, t) + intC(y, x). Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta câ thº gi£ sû aα → a v vα → 0 th¼ aα + vα → a ∈ G(y, x, t) ⊆
H(x, x, x) +intC(y, x). V¼ H(x, x, x) +intC(y, x) l têp con m nản tỗn tÔi 0 sao cho ∀α ≤ α0 ta câ aα+ vα 6∈ H(y, x, t) +intC(y, x) v ta cõ sỹ mƠu thuăn. Vêy
i·u n y cho thĐy x A nản A l têp con õng trong D. Do â vỵi
t∈ D cè ành, tªp
B = D\A = {x ∈ D | 06∈ F(y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
l mð. Hìn núa i·u ki»n (ii) cho th§y F l Ănh xƠ a tr Q−KKM. Vªy ¡p dửng nh lẵ 3.1 ta cõ tỗn tÔi x¯ ∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
0 ∈ F(y,x, t),¯ ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
iÃu ny tữỡng ữỡng vợi
G(y,x, t)¯ 6⊆H(y,x,¯ x) +¯ intC(y,x),¯ ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Tữỡng tỹ hằ quÊ trản ta cõ hằ qu£ sau.
H» qu£ 3.6. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sû G, H :
K ×D×D → 2Y l cĂc Ănh xƠ a tr. Cho C : K ×D → 2Y l Ănh xÔ a tr nõn liản tửc trản vợi giĂ tr khĂc rộng, lỗi, õng. Hỡn nỳa, náu (i) Vợi t ∈ D cè ành, Ănh xÔ a tr G(., ., t) : K ×D → 2Y l C
liản tửc dữợi v Ănh xƠ a tr N : K ×D → 2Y x¡c ành bði N(y, x) =
H(y, x, x) l (−C)−li¶n tửc trản vợi giĂ tr com pưc;
(ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, ..., tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, ..., tn} câ mët j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
H(y, x, x) 6⊆G(y, x, tj)−intC(y, x), ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t),
thẳ tỗn tÔi x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
Chùng minh. Chùng minh t÷ìng tü H» qu£ 3.5.
H» qu£ 3.7. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sû R l quan h» giúa y ∈ K, x ∈ D, t∈ D. N¸u
(i) Vỵi t ∈ D cè ành, quan h» R(., ., t) giúa y ∈ K, x ∈ D l âng; (ii) R l Q−KKM
thẳ tỗn tÔi x∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)
v
R(y,x, t)¯ x£y ra, ∀t∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Chựng minh. CĂc Ănh xÔ a tr
M :K ×D → 2X
F : K ×D ×D →2D
÷đc x¡c ành bði
M(y, x) = {t∈ D | R(y, x, t) x£y ra}
F(y, x, t) =t−M(y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Vỵi t ∈ D cè ành, x²t tªp
A= {x ∈ D | R(y, x, t) x£y ra, ∀y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | 0∈ F(y, x, t), y Q(x, t)}.
Lêp luên tữỡng tỹ nhữ trong chùng minh H» qu£ 3.3, ta câ A l tªp âng trong D. Do â tªp
B = D\A = {x ∈ D | 06∈ F(y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
l mð trong D.
Hìn núa, tø R l Q−KKM suy ra F l Ănh xÔ a tr Q−KKM. Do õ, Ăp dửng nh lẵ 3.1 ta suy ra tỗn tÔi x∈ D sao cho
¯
v
R(y,x, t)¯ x£y ra, ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
H» qu£ 3.8. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sỷ G :
K ×D →2Y l Ănh xƠ a tr. Náu cĂc iÃu kiằn sau thọa mÂn: (i) Vợi t ∈ D cè nh, Ănh xÔ a tr G(., t) : K → 2Y l õng;
(ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, ..., tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, ..., tn} câ mët j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
x ∈ G(y, tj) x£y ra, ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
Khi Đy tỗn tÔi x¯ ∈ D sao cho
¯ x ∈ P1(¯x)∩ { \ t∈P2(¯x) \ y∈Q(¯x,t) G(y, t)} Chựng minh. nh xƠ a tr F : K ×D ×D → 2X ÷đc x¡c ành bði
F(y, x, t) =x−G(y, t),(y, x, t) K ìD ìD.
Vi t D cố nh, têp
A= {x ∈ D | 0∈ F(y, x, t), ∀y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | x ∈ G(y, t), ∀y ∈ Q(x, t)}
l tªp âng trong D. Thªt vêy, giÊ sỷ dÂy {xα} ⊂ A v xα →x, lĐy tũy ỵ y ∈ Q(x, t). Tø Q(., t) l Ănh xÔ nỷa liản tửc dữợi v xα → x suy ra tỗn tÔi dÂy {yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα → y. Do â xα ∈ G(yα, t),
xα → x; yα → y. T½nh âng cõa G(., t) dăn án x ∈ G(y, t). i·u n y ngh¾a l x ∈ A nản A l têp õng. Do õ têp
l m trong D.
Hìn núa, tø i·u ki»n(ii)dăn án vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn{t1, t2, ..., tn} ⊂
D v x ∈ co{t1, t2, ..., tn} câ mët j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
0∈ F(y, x, tj) x£y ra, ∀t∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
i·u n y cho th§y F l Ănh xÔ a tr Q−KKM. Vêy Ăp dửng nh lẵ 3.1 ta cõ tỗn tÔi x ∈ D sao cho
0∈ F(y,x, t)¯ x£y ra, ∀t∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t). iÃu ny dăn án ¯ x ∈ P1(¯x)∩ { \ t∈P2(¯x) \ y∈Q(¯x,t) G(y, t)}
Ta cõ hằ quÊ dữợi Ơy l trữớng hủp c bi»t cõa h» quÊ trản m nõ chẵnh l nh lẵ KKM.
Hằ quÊ 3.9. Cho D l têp con lỗi, com pưc cừa X. Thẳ vợi bĐt kẳ Ănh xÔ KKM G: D → 2D vỵi gi¡ trà âng kh¡c réng, ta câ T
t∈DG(t) 6= ∅. H» qu£ 3.10. Cho D, K, P1, P2 v Q nhữ trong nh lẵ 3.1. GiÊ sỷ
F K ìD ×D l têp con tũy ỵ thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau: (i) Vỵi t ∈ D cè ành, tªp
B = {x∈ D | (y, x, t) 6∈ F, vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
l mð trong D;
(ii) Vợi bĐt kẳ têp hỳu hÔn {t1, t2, ..., tn} ⊂ D v x ∈ co{t1, t2, ..., tn} câ mët j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
(y, x, tj) ∈ F, ∀t ∈ P2(x) v y ∈ Q(x, t).
Khi õ tỗn tÔi x ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) v
(y,x, t)¯ ∈ F, ∀t ∈ P2(¯x) v y ∈ Q(¯x, t).
(i·u n y ngh¾a l S
Chựng minh. CĂc Ănh xƠ a trà
M : K ìD 2X;
F : K ìD ìD 2D
ữc x¡c ành bði
M(y, x) = {t ∈ D | (y, x, t) ∈ F(y, x) ∈ K ×D, F(y, x, t) =t−M(y, x),(y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Tø i·u ki»n (i) vỵi t ∈ D cè ành, tªp
B = {x ∈ D | 0 6∈ F(y, x, t), vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
= {x ∈ D | (y, x, t) 6∈ F, vỵi mët v i y ∈ Q(x, t)}
l mð trong D. Hìn núa, i·u ki»n (ii) dăn án F l Ănh xƠ a tr
Q−KKM. Vªy º ho n th nh chùng minh h» qu£ n y ta ch¿ c¦n ¡p dưng nh lẵ 3.1.
KT LUN
Luên vn trnh by kỏt q v sỹ tỗn tƠi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I v loÔi II. V Ăp dửng c¡c k¸t qu£ n y º chùng minh sỹ tỗn tƠi nghiằm cừa mởt số bi toĂn liản quan nhữ bi toĂn quan hằ tỹa bián phƠn, bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn,...
CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn l
- Trẳnh by iÃu kiằn ừ bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt li I cõ nghiằm.
- Ùng dưng ành l½ v· sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi I chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc bi toĂn liản quan nh÷ b i to¡n quan h» tỹa bián phƠn loÔi I, bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn loÔi I, bi toĂn tỹa cƠn bơng,....
- Trẳnh by iÃu kiằn ừ bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt li II cõ nghiằm.
- Ùng dưng ành l½ v· sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi II chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số bi toĂn liản quan nhữ bi toĂn quan hằ tỹa bián phƠn loÔi II, bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn loÔi II,...
T i li»u tham kh£o
[1] Guerraggio, A. and Tan, N.X. (2002), "On General Vector Quasi- Optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Re- search, Vol. 55, 347-358.
[2] Lin, L.J. and Tan, N.X. (2007), "On Inclution Problems of Type I and Related Problems", J. Global Optim, Vol. 39 , no.3, 393-407. [3] Tuan, L. A and Sach, P.H. (2004), "Existence of solutions of gen-
neralized quasi variational inequalities with set- valued maps", Acta Math. Vietnam 29, 309-316 .
[4] Park, S. (2000), "Fixed points and Quasi- Equilibrium Problems Non- linear Operator Theory", Mathematical and computer Modelling, Vol. 32 , 1297-1304.
[5] Luc, D. T. (2008), "An Abstract problem in Variational Analysis", J. Optim. theory Appl, Vol. 138, no.1, 65-76.
[6] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn BĂ Minh (2006), Mởt số vĐn à trong lẵ thuyát tối ữu a trà, Nxb gi¡o döc.
[7] Truong thi thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2010), "On the Generalized Quasi-equilibrium Problem of Type I and Related Prob- lems", Adv Nonlinear. Var. Inequal, 13, No.1, 29-47.
[8] Truong thi thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2011), "On the Gen- eralized Quasi-equilibrium Problem of Type II and Related Prob- lems", Acta Mathematica Vietmamica, (to appear).
[9] Luc, D. T. and Tan, N. X. (2004), "Existence condition in variational inclutions with con- straints", Optimization 53. 505-515.
[10] Hai, N. X. and Khanh, P. Q (2007), "The solution existence of gen- eral variational inclution problems",J. Math. Anal. Appl, 328, 1268- 1277.
[11] Yannelis, N.C. and Prabhaker, N. D. (1983), "Existence of maximal elements and equalibria in linear topological space",J. Math. Eco, Vol. 12, PP. 233- 245.