2 Bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm đơn điệu liên tiếp
2.3 Một số lớp hàm đơn điệu tuần hồn và đơn điệu tuyệt đối
tuyệt đối
Song song với lớp hàm đơn điệu thơng thường, nhiều lớp hàm đơn điệu khác cũng được nhiều người nghiên cứu các đặc trưng của chúng như đơn điệu đầy đủ 1, đơn điệu cĩ tính tuần hồn 2, đơn điệu tuyệt đối,. . .
Định nghĩa 2.5 ([4],[6]). Hàm số f(x) được gọi là hàm đơn điệu cĩ tính tuần hồn trong khoảng (a, b) khi và chỉ khi các đạo hàm của chúng khơng triệt tiêu (cĩ dấu khơng đổi) và
f(k)(x)f(k+2)(x) ≤ 0, x ∈ (a, b), k = 0,1,2, . . .
1Tiếng Anh: completely monotonic function 2Tiếng Anh: cyclically monotonic function
Ví dụ về hàm sơ cấp đơn điệu cĩ tính tuần hồn trong khoảng(a, b)(a > 0) là các hàm số sau.
Ví dụ 2.1. Hàm số f(x) = sinx là hàm số đơn điệu cĩ tính tuần hồn trong khoảng 0,π
2
.
Ví dụ 2.2. Hàm số f(x) = cosx là hàm số đơn điệu cĩ tính tuần hồn trong khoảng π
2, π
.
Ví dụ 2.3. Cho hàm số g(x) liên tục và dương trên đoạn [0,+∞) thì hàm số f(x) = 1 Z 0 g(t)e−λtxdt, λ >0
là hàm số đơn điệu cĩ tính tuần hồn trong khoảng (0,+∞).
Bài tốn 2.1. Cho hàm sốg(x) liên tục và dương tren đoạn [0,1] và hàm số f(x) = 1 Z 0 g(t)e−txdt. Chứng minh rằng f(k) x+y 2 ≥ 2kf x+y 2 , ∀x, y ∈ (0,1), k = 0,1, . . .
Chứng minh. Chứng minh được suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức Cheby- chev đối với tích phân xác định.
Nhận xét 2.1. Hồn tồn tương tự, ta cũng cĩ thể khảo sát lớp hàm lồi thay cho lớp hàm đơn điệu.
Định nghĩa 2.6 ([4],[6]). Hàm số f(x) được gọi là hàm đơn điệu tuyệt đối trong khoảng (a, b) nếu đạo hàm mọi cấp của nĩ đều khơng đổi dấu:
f(k)(x) ≥ 0 (≤ 0), ∀x ∈ (a, b), k = 0,1,2. . .
Định nghĩa 2.7 ([4],[6]). Hàm số f(x) được gọi là hàm đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng (a, b) nếu đạo hàm mọi cấp của nĩ đều là hàm đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng đĩ.
Ví dụ về các hàm số sơ cấp đơn điệu, đồng biến (ngịch biến) tuyệt đối trong khoảng (a, b)(a > 0) là các hàm số sau.
Ví dụ 2.4. Mọi đa thức P(x) với các hệ số đều dương là hàm đơn điệu tăng tuyệt đối trong khoảng (0,+∞).
Thật vậy, dãy các đa thức P(k)(x) cĩ các hệ số đều khơng âm nên
P(k)(x) ≥ 0, ∀x > 0, k = 0,1, . . .
Ví dụ 2.5. Hàm số f(x) = ex là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng
(0,+∞).
Ví dụ 2.6. Với mọi hàm số g(x) liên tục và dương trên [0,1], hàm số
f(x) =
1
Z
0
g(t)etxdt
đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0, 1).
Ví dụ 2.7. Hàm số
f(x) = x−1
x+ 1 −ex
là hàm nghịch biến tuyệt đối trong khoảng (1,+∞).
Nhận xét 2.2. Nếu hàm sốf(x)là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng
(a, b) thì hàm số g(x) := −f(x) sẽ là hàm nghịch biến tuyệt đối trong khoảng đĩ và ngược lại. Vì vậy, khơng mất tính tổng qt, ta chỉ trình bày các bài tốn liên quan đến hàm đơn điệu tăng và đồng biến tuyệt đối trong khoảng đã cho.
Bài tốn 2.2. Chứng minh rằng với mọi hàm số g(x) liên tục và dương trên đoạn [0,1], hàm số f(x) = 1 Z 0 g(t)etxdt
sẽ là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0,1).
Chứng minh. Chứng minh được suy ra trực tiếp từ tính chất của tích phân xác định.
Bài tốn 2.3. Cho hàm sốg(x) liên tục và dương trên đoạn [0,1] và hàm số f(x) = 1 Z 0 g(t)eλtxdt, λ ≥ 0. Chứng minh rằng f(k)(x) f(k+1)(x) ≥ f (k+1)(x) f(k+2)(x), ∀x ∈ (0,1), k = 0,1, . . .
Chứng minh. Chứng minh được suy trực tiếp từ bất đẳng thức Cheby- chev đối với tích phân xác định sau đây
1 Z 0 g(t)tkeλtxdt 1 Z 0 g(t)t2+keλtxdt ≥ 1 Z 0 g(t)tk+1eλtxdt 1 Z 0 g(t)tk+1eλtxdt.
Chương 3
Một số ứng dụng của hàm đơn điệu theo bậc trong lượng giác
Trong chương này, ta xét một số bất đẳng thức dạng khơng đối xứng trong tam giác sinh bởi các hàm sin và cos mà dấu đẳng thức khơng xảy ra trong tập các tam giác thường. Cuối cùng là nhận dạng một số dạng tam giác đặt biệt.
3.1 Một số dạng bất đẳng thức dạng khơng đối
xứng trong tam giác
Trong mục này, đầu tiên ta xét một số bất đẳng thức cơ bản dạng khơng