4 Iđêan
4.2 Iđêan của vành OK
Định nghĩa 4.2.1. (i) Cho I là iđêan của OK và γ, δ ∈ OK. Ta nói rằng γ đồng dư với δ theo modulo I nếu γ −δ ∈ I. Và ký hiệu là γ ≡ δ
(mod I)
(ii) Một iđêanP của vành OK được gọi là một iđêan nguyên tố của OK nếu:
• P 6= h0i; P 6= OK và
Nhận xét 4.2.2. (i) Nếu γ ≡ σ (mod hβi) thì ta có γ − σ ∈ hβi ⇔
γ − σ = ηβ do đó ta hiểu rằng γ ≡ σ (mod hβi) giống như γ ≡ σ
(mod β). Cho nên nếu β là phần tử nguyên tố trong OK thì điều kiện này được viết lại như sau:
• hβi 6= h0i; hβi 6= OK và
• nếu γ, δ ∈ OK và γδ ∈ hβi thì γ ∈ hβi hoặc δ ∈ hβi
(ii) Iđêan chính của OK là iđêan nguyên tố nếu nó có dạng hβi, trong đó β nguyên tố. Thật vậy:
Giả sử β nguyên tố, ta chỉ ra hβi nguyên tố. Giả sử γδ ∈ hβi với γ, δ ∈ OK thì ta có β | γδ. Do β nguyên tố cho nên ta có β | γ hoặc β | δ, vì vậy hoặc γ ∈ hβi hoặc δ ∈ hβi. Điều này chứng tỏ rằng hβi là iđêan nguyên tố.
Bổ đề 4.2.3. Cho β và γ là các phần tử khác 0 của OK. Khi đó hβi = hγi ⇔ γ
β ∈ U(OK)
Chứng minh. Nếu hβi = hγi thì
β ∈ hγi γ ∈ hβi ⇒ β/γ ∈ OK γ/β ∈ OK ⇒ γ/β ∈ U(OK)
Ngược lại, nếu γ/β ∈ U(OK) thì β/γ ∈ OK và γ/β ∈ OK. Do đó β | γ và γ | β ⇒ hβi ⊆ hγi ⊆ hβi ⇒ hβi = hγi.