2 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu không trơn
2.3 Một số phương pháp giải bài tốn tối ưu khơng trơn
2.3.2 Phương pháp siêu phẳng cắt
Ý tưởng cơ bản của phương pháp siêu phẳng cắt là tìm điểm cực tiểu của hàm trên một tập lồi đa diện ở mỗi phép lặp. Sau mỗi phép lặp, một siêu phẳng cắt được đưa thêm vào và điểm không thỏa mãn siêu phẳng mới sẽ bị cắt khỏi miền chấp nhận được, do đó các tập lồi đa diện sẽ được thu hẹp dần. Cuối cùng, dãy điểm phép lặp sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán. Thủ tục này được thực hiện bằng cách giải một dãy bài tốn quy hoạch tuyến tính xấp xỉ.
Rõ ràng với hàm lồi f(x) ta có f(x) = sup y sup g∈∂f(y) [f(y) +gT(x−y)]. (2.16)
Do đó bài tốn tìm cực tiểu của hàm f(x) trên tập X:
min
x∈X f(x)
sẽ tương đương với bài toán
minv
s.t v ≥f(y) +gT(x−y) (2.17)
y ∈ Rn, g ∈ ∂f(y). (2.18) Phương pháp siêu phẳng cắt chính là ở mỗi phép lặp giải một bài toán xấp xỉ của (2.17)-(2.18). Giả sử xi(i = 1,2, ..., k) là các điểm lặp
hiện có. Mỗi vịng lặp ta giải bài tốn phụ
minv (2.19)
s.t v ≥ f(xi) + giT(x−xi), i= 1,2, ..., k. (2.20) Rõ ràng bài tốn quy hoạch tuyến tính (2.19)-(2.20) là xấp xỉ của bài toán (2.17)-(2.18).
Phương pháp siêu phẳng cắt được mơ tả như sau Thuật tốn 2.3. (Phương pháp siêu phẳng cắt)
Bước 1. Chọn điểm ban đầu x1 ∈ S với S là một tập lồi đa diện cho trước.
Bước 2. Tính gk ∈ ∂f(xk).
Bước 3. Giải bài tốn (2.19)-(2.20) để tìm vk+1 và xk+1. Đặt k := k+ 1
và quay trở lại bước 2.
Như trên đã nói, ở mỗi vịng lặp thuật tốn thêm vào một ràng buộc mới mà về mặt hình học một phần của tập S khơng chứa nghiệm sẽ bị cắt bỏ bởi siêu phẳng mới đưa vào này.
Sự hội tụ của phương pháp siêu phẳng cắt được nêu trong định lý sau. Định lí 2.9. Nếu f(x) là một hàm lồi và bị chặn dưới thì dãy {xk} và
{vk} sinh bởi Thuật toán 2.3 thỏa mãn i) v2 ≤ v3 ≤ · · · ≤vk →f∗.
ii) Bất kỳ điểm tụ nào của dãy {xk} đều là điểm cực tiểu của f(x) trên
S.
Giả sử rằng hàm f(x) khả vi và thuật tốn hội tụ tới nghiệm. Khi đó, với k đủ lớn thì gk = ∇(xk) khá nhỏ và do đó điều kiện ràng buộc (2.20) trở thành điều kiện xấu. Một nhược điểm nữa của phương pháp siêu phẳng cắt là khi k đủ lớn sẽ có quá nhiều ràng buộc trong bài tốn (2.19)-(2.20) do đó chi phí tính tốn khá cao, bởi vì các ràng buộc siêu phẳng cắt ln được thêm vào tập ràng buộc hiện có mà khơng bao giờ bị loại đi. Vì những nhược điểm nêu trên nên các phương pháp siêu phẳng cắt ít được chú ý tới, mặc dầu nó là một trong những phương
pháp sớm nhất để giải quy hoạch lồi tổng qt. Vì thế, cần có những cải biên nhất định cho phương pháp siêu phẳng cắt.