1. 2O Quinto Postulado eas Geometrias Não-Euclidianas
3.3.2Lei dos Cossenos
3.3 Relaỗừes Mộtricas num Triângulo Qualquer
3.3.2Lei dos Cossenos
Dado um triânguloABC qualquer, consideraremos o ânguloA, quando:Ă
1. O triânguloABC é acutângulo.
Ố No△BC H, temos:a2=h2+ (c−m)2 (I) Ố No△AC H, temos: h2=b2−m2 (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
a2=b2−m2+ (c−m)2=b2+c2−2ỈcỈm(III). Temos ainda, no triângulo △AC H um ângulo reto emH:
cosAĂ =m
b ⇒m=bỈcosA.Ă
Substituindo-se em (III), temos:
a2=b2+c2−2ỈbỈcỈcosA.Ă A B C H c a b h m
2. O triânguloABC é obtusângulo emA.Ă
Ố No△BC H temos:a2=h2+ (c+m)2 (I)
Ố No△AC H temos:b2=m2+h2⇒h2=b2−m2 (II) Substituindo (II) em (I), temos:
a2=b2−m2+ (c+m)2=b2+c2+ 2ỈcỈm(III) Temos ainda, no△AC Hreto emH:cos(180◦−A) =Ă −cosĂA=m
b ⇒m=−b. cosĂA, que substituindo em
(III) temos: a2=b2+c2+2ỈcỈ(−bỈcosA) =Ă b2+c2−2ỈbỈcỈcosAĂ A C B c a b H h m
Oba! Oba! Assim, podemos enunciar o seguinte resultado:
3.10 Teorema. [Lei dos Cossenos] Num triânguloABC qualquer, o quadrado da medida de um lado, é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Considerando a figura ao lado, em sắmbolos escrevemos a lei dos cossenos como:
a2=b2+c2−2ỈbỈcỈcos ĂA, b2=a2+c2−2ỈaỈcỈcos ĂB, c2=a2+b2−2ỈaỈbỈcos ĂC.
A
B
C a
b c
ER 3.40. Um triângulo possui dois lados consecutivos medindo 4 cme 2√
3 cm, e um ângulo agudo,
formado por estes lados, medindo30◦. Calcular o comprimento do terceiro lado.
Soluỗóo: Sejax a medida do terceiro lado. Pela lei dos cossenos temos que
x2= 42+ (√ 3)2−2Ỉ4Ỉ√3Ỉcos 30◦, ou seja, x2= 16 + 3−8Ỉ√3Ỉ √ 3 2 .
Resolvendo-se esta equaỗóo, encontraremosx=√ 7cm.
ER 3.41. Qual a medida de cada ângulo de um triângulo cujos lados medem7,5e3?
Soluỗóo: Como neste exemplo conhecemos três lados do triângulo podemos usar a lei dos cossenos para encontrarmos cada um dos ân- gulos desconhecidos. Veja como.
A B
C 3
7 5
Para o ânguloĂA, temos:
a2=b2+c2−2ỈbỈcỈcosĂA ⇒ 72= 32+ 52−2Ỉ3Ỉ5ỈcosAĂ ⇒49 = 9 + 25−30ỈcosAĂ ⇒ 15 =−30ỈcosAĂ ⇒cosAĂ =−1
Para o ânguloB, temos:Ă
b2=a2+c2−2ỈaỈcỈcosBĂ ⇒ 32= 72+ 52−2Ỉ7Ỉ5ỈcosBĂ ⇒9 = 49 + 25−70ỈcosBĂ ⇒ −65 =−70ỈcosBĂ ⇒cosBĂ =−1314 ⇒BĂ ≈21, 79◦
Para o ânguloC, temos:Ă
c2=a2+b2−2ỈaỈbỈcosCĂ ⇒ 52= 72+ 32−2Ỉ7Ỉ3ỈcosCĂ ⇒25 = 49 + 9−42ỈcosCĂ ⇒ −33 =−42ỈcosCĂ ⇒cosCĂ =−11
14CĂ ≈38, 21◦