Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.3. Xây dựng và sử dụng bài toán đếm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho
2.3.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử dụng
dụng bài toán đếm số
Cách giải thơng thường cho bài tốn đếm số
Bước 1: Gọi số cần tìm là x a a a 1 2... k .
Bước 2: Liệt kê các tính chất của số x thỏa mãn yêu cầu.
Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài tốn có chia trường hợp khơng. Bước 4: Thứ tự đếm (đếm ưu tiên)
+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất.
+ Đếm chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm hoặc tập ban đầu có chứa số 0.
Bước 5: Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân.
Chú ý: Đây là phương pháp thơng thường, khi dạy chúng ta có thể cho các em
sáng tạo áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để lời giải ngắn gọn hơn.
Sáng tạo những bài tốn đếm số theo hướng phát triển khó dần từ bài tốn gốc ban đầu và mỗi bài toán đưa ra các cách tiếp cận khác nhau.
Bài tập 1.1. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số?
Phân tích. Đây là bài toán đơn giản nhất trong số các bài toán đếm lập số tự
nhiên. Học sinh dễ dàng sử dụng quy tắc nhân để giải. Ở bài này các em cần lưu ý các chữ số có thể giống nhau. Ta có thể trình bày bài tốn như sau:
Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là x abcd .
Để chọn x ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a b c d, , , . Vì a b c d, , , có thể trùng nhau nên ta có: + acó 9 cách chọn. + b có 9 cách chọn. + ccó 9 cách chọn. + d có 9 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 9.9.9.9 6561 số x cần tìm.
Phát triển. Bây giờ chúng ta sẽ thay đổi đề bài từ lập số tự nhiên có 4 chữ số
thành lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Khi này, bài tốn sẽ trở nên khó hơn, học sinh cần phải tư duy và nhận ra rằng số nào đã được chọn thì phải loại đi khơng được chọn nữa. Do đó, học sinh khơng thể áp dụng máy móc bài 1.1 được sẽ dẫn đến kết quả sai, các em cần tư duy rằng tập số sẽ thu hẹp dần sau mỗi lần chọn xong một số. Khi đó, ta có bài tốn sau:
Bài tập 1.2. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đơi một khác nhau?
Phân tích. Bài tốn này về tương đối nhìn giống bài tốn 1.1 nhưng khác ở
giải. Ở bài này các em cần lưu ý các chữ số phải khác nhau. Các em cần có tư duy là khi các chữ số khác nhau thì chữ số nào đã được chọn thì phải loại ra.
Lời giải.Cách 1: Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là x abcd .
Để chọn x ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a b c d, , , . Vì a b c d, , , đôi một khác nhau nên ta có:
+ acó 9 cách chọn.
+ b có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn a). + ccó 7 cách chọn ( vì loại số đã chọn a b, ). + d có 6 cách chọn ( vì loại số đã chọn a b c, , ).
Vậy theo quy tắc nhân có 9.8.7.6 3024 số x cần tìm.
Cách 2: Mỗi số cách lập một số tự nhiên gồm 4 chữ số đơi một khác nhau từ
tập A chính là một chỉnh hợp chập 4 của 9 (chọn ra 4 số từ 9 số và sắp xếp) Vậy có 4
9 3024
A số tự nhiên.
Bài tập 1.3. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Phân tích. Nhìn về tổng thể bài này giống bài 1.2, tuy nhiên các em cần nhận
thấy số này phải là số chẵn nên chữ số cuối cùng phải là một số chẵn. Do đó, các em cần tư duy sáng tạo trong việc thiết lập thứ tự chọn các chữ số, nếu các em làm máy móc như bài 1.2 chọn theo thứ tự từ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng thì bài tốn sẽ trở nên khó khăn và phức tạp hơn rất nhiều. Vì vậy ở đây chữ số cuối cùng là đặc biệt nên các em nên ưu tiên chọn chữ số cuối cùng đầu tiên.
Lời giải
Cách 1: Gọi số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là x abcd . Để chọn x ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a b c d, , , .
+ d có 4 cách chọn ( đó là các chữ số 2, 4, 6, 8). + a có 8 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn d). + b có 7 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn a, d ).
+ c có 6 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn a, b, d). Vậy theo quy tắc nhân có 4.8.7.6 1344 số x cần tìm.
Cách 2: Chữ số hàng đơn vị là số chẵn nên có 4 cách chọn.
Các chữ số cịn lại mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8. Vậy có 3
8
4.A 1344 số tự nhiên.
Bài toán tương tự. Cho tập A1;2;3;4;5;6;7;8;9. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số đơi một khác nhau?
Bài tập 1.4. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 3?
Phân tích. Ở bài tốn này khó khăn hơn ở bài 1.3 là chữ số 3 phải ln ln
có mặt. Vậy ở đâu có hai tính chất đặc biệt là chữ số cuối phải là số chẵn và phải luôn xuất hiện chữ số 3. Với tư duy sáng tạo học sinh cần phải suy nghĩ rằng nên thiết lập thứ tự chọn và phương pháp giải như thế nào cho phù hợp.
Lời giải. Gọi số cần tìm là x abcd
Cách 1: Đếm loại trừ. + Đếm các số chẵn có 4 chữ số khác nhau là: Chữ số d có 4 cách chọn (đó là các chữ số 2, 4, 6, 8). Chữ số a có 8 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn d). Chữ số b có 7 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn a, d ). Chữ số c có 6 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn a, b, d ). Vậy theo quy tắc nhân có 4.8.7.6 1344 số.
+ Đếm các số chẵn có 4 chữ số mà khơng có mặt chữ số 3 là: Chữ số d có 4 cách chọn; 3 chữ số cịn lại có 3 7 A cách chọn. Vậy có 3 7 4.A 840 số. Vậy các số cần tìm là 1344 – 840 504 số. Cách 2: Đếm vị trí. + d chẵn nên có 4 cách chọn. + Chữ số 3 có 3 cách chọn.
+ 2 chữ số cịn lại có 7.6 = 42 cách chọn. Vậy ta có 4.2.42 504 số cần tìm.
Phát triển. Ta thử thay đổi dữ kiện bài tốn, khơng phải là ln có mặt chữ số
3 nữa mà là ln có mặt một số chẵn nào nào đó, chẳng hạn số 4. Khi thay đổi điều kiện như thế này bài tốn sẽ trở nên khó khăn hơn, vì là số chẵn có 4 chữ số đơi một khác nhau mà lại luôn xuất hiện chữ số 4, số 4 ở đây đặc biệt hơn vì nó cũng là số chẵn. Khi đó, chúng ta phải nghĩ ngay đến phải xét trường hợp chữ số hàng đơn vị bằng 4 và khác 4.
Bài tập 1.5. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 4?
Phân tích. Với bài tốn này học sinh cần có tư duy sáng tạo rằng số 4 là số
chẵn mà đây lập số tự nhiên chẵn nên nếu làm giống bài 1.4 thì sẽ dẫn đến sai lầm. Do đó cần lưu ý xét trường hợp chữ số hàng đơn vị bằng 4 và chữ số hàng đơn vị khác 4.
Lời giải
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đơi một khác nhau và ln xuất hiện chữ số 4 là x abcd .
Trường hợp 1: Nếu d 4 thì d có 1 cách chọn và 3 chữ số cịn lại có
3
8 336
A cách chọn (d 4nên khơng cịn chọn vị trí cho số 4 nữa). Trường hợp 2: d 4 khi đó + d có 3 cách chọn (đó là các chữ số 2, 6, 8). + Chữ số 4 có 3 vị trí. + 2 chữ số cịn lại có 2 7 A cách sắp xếp. Vậy có: 2 7 336 3.3. A 714số cần tìm.
Bài tập 1.6. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 3 và 4?
Phân tích. Bài tốn này so với bài 1.4 và 1.5 thì yêu cầu xuất hiện cả hai số 3
và 4 mà vai trò của hai số này khác nhau. Vậy bài này ta cần chọn vị trí cho số 3 và số 4 trước, chúng ta sẽ kết hợp cả hai bài 1.5 và 1.4 để giải quyết bài này. Lập dãy 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 3 và 4 và chữ số cuối chẵn.
Lời giải. Gọi số cần tìm là x abcd .
Ln có 3 cách chọn cho vị trí số 3 vì chữ số cuối là chẵn. Nếu d chọn số 4 thì 2 vị trí cịn lại có 6.7 = 42 cách chọn.
Nếu d khơng chọn số 4 thì d có 3 cách chọn (2, 6, 8); có 2 cách chọn vị trí cho số 4. Vị trí cịn lại có 6 cách chọn.
Do đó, có 3(42 + 3.2.6)=234 số cần tìm.
Phát triển. Trong các bài tốn trên, tập ban đầu không chứa số 0 nên bài tốn khơng khó khăn nhiều, nhưng khi chúng ta thay tập ban đầu bổ sung thêm số 0 thì khi đó bài tốn trở nên khó khăn hơn. Vì số 0 là chữ số đặc biệt nó khơng thể đứng đầu khi lập chữ số tự nhiên. Cụ thể, sau đây ta sẽ minh họa qua hệ thống các bài tập sau đây:
Bài tập 1.7. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số?
Phân tích. Đây là bài toán đơn giản trong số các bài toán đếm lập số tự nhiên.
Học sinh dễ dàng sử dụng quy tắc nhân để giải. Ở bài này các em cần lưu ý các chữ số có thể giống nhau nhưng lưu ý ở đây tập ban đầu có chứa số 0 mà chữ số 0 là số đặc biệt vì số 0 khơng thể là chữ số đầu tiên.
Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là x abcd .
Để chọn x ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a b c d, , , . Vì a b c d, , , có thể trùng nhau nên ta có:
+ acó 9 cách chọn ( vì phải loại chữ số 0 ). + b có 10 cách chọn.
+ d có 10 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 9.10.10.10 7290 số x cần tìm.
Bài tập 1.8. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Phân tích. Bài này tương tự bài toán 1.7, tuy nhiên học sinh cần phải nhận
thấy rằng các chữ số là khác nhau, nên khi chọn thì chữ số nào đã được chọn thì phải loại bỏ đi.
Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là x abcd .
Để chọn x ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a b c d, , , . Vì a b c d, , , đôi một khác nhau nên ta có:
+ acó 9 cách chọn ( vì loại chữ số 0 ). + b có 9 cách chọn ( vì loại số đã chọn a) + ccó 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn a b, ).
+ d có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn a b c, , ). Vậy theo quy tắc nhân có 9.9.8.7 4536 số x cần tìm.
Bài tập 1.9. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Phân tích. Bài này tương tự bài tốn 1.8, chữ số đầu tiên cũng khơng được
chọn chữ số 0. Tuy nhiên, ở bài này các em cần lưu ý chữ số cuối cùng phải là chữ số lẻ. Học sinh cần sáng tạo trong việc thiết lập thứ tự chọn chữ số, vì nếu chọn lần lượt từ chữ số đầu đến chữ số cuối sẽ làm bài tốn khó khăn hơn. Học sinh nên chọn theo thứ tự chữ số nào đặc biệt ta nên chọn trước.
Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là x abcd .
Để chọn x ta phải chọn đồng thời 4 chữ số a b c d, , , . Vì a b c d, , , đôi một khác nhau nên và x là chữ số lẻ nên ta có:
+ dcó 5 cách chọn ( đó là các chữ số lẻ 1;3;5;7;9).
+ a có 8 cách chọn ( vì khơng lấy chữ số 0 và số đã chọn d) + bcó 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn a d, ).
+ c có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn a b d, , ). Vậy theo quy tắc nhân có 5.8.8.7 2240 số x cần tìm.
Bài tập 1.10. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đơi một khác nhau?
Phân tích. Thoạt nhìn, ta thấy bài tốn này giống bài 1.9, chỉ cần thay số lẻ
thành số chẵn. Tuy nhiên, ở đây học sinh cần tư duy sáng tạo một chút, xét quan hệ biện chứng giữa số lẻ và số chẵn ta thấy vai trò của các chữ số lẻ là
1;3;5;7;9 là như nhau; trong khi đó các chữ số chẵn 0; 2; 4; 6; 8 thì có số 0 là đặc biệt vì số 0 khơng thể đứng đầu tiên. Vì vậy nếu bài này làm giống bài 5 thì kết quả sẽ khơng đúng.
Vậy hướng làm đúng là các em phải xét riêng trường hợp số 0. Khi đó bài tốn sẽ áp dụng cả hai quy tắc đếm.
Lời giải
Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là x abcd .
+ Chữ số cuối dcó 5 cách chọn ( đó là các chữ số 0;2;4;6;8). Trường hợp 1: d khác 0.
Khi đó d có 4 cách chọn. ( Sau đó làm tương tự bài ).
+ a có 8 cách chọn ( vì khơng lấy chữ số 0 và số đã chọn d) + bcó 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn a d, ).
+ c có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn a b d, , ). Vậy theo quy tắc nhân có 4.8.8.7 1792 số.
Trường hợp 2: d bằng 0.
Khi đó, phần cịn lại phải làm giống bài 1.9. + Chữ số a đều tiên có 9 cách chọn.
+ Chữ số b có 8 cách chọn (vì loại chữ số đã chọn a và d). + Chữ số c có 7 cách chọn (vì loại chữ số đã chọn a, b, d). Vậy có 9.8.7 504 số.
Bài tập 1.11. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau mà luôn xuất hiện chữ số 5?
Phân tích. Ở bài này khó hơn bài 1.10 là số tự nhiên cần tìm phải ln xuất
hiện chữ số 5. Do đó, ta cần tư duy là vẫn xét hai trường hợp như bài 1.10 tuy nhiên cần thiết lập ưu tiên thứ tự chọn chữ số đơn vị trước sau đó chọn vị trí cho số 3, rồi mới đến các số còn lại.
Lời giải
Cách 1. Ta cũng chia hai trường hợp như bài 1.4, tuy nhiên lưu ý phải chọn số
3 cho 1 trong 3 vị trí đầu tiên.
Gọi sơ tự nhiên có có 4 chữ số cần tìm là x abcd .
+ Chữ số hàng đơn vị d có 5 cách chọn (đó là các chữ số 0, 2, 4, 6, 8). Trường hợp 1: d là chữ số 0 thì d có 1 cách chọn.
Vì x phải ln xuất hiện chữ số 5 nên ta chọn 1 vị trí trong 3 vị trí a, b, c
để xếp chữ số 5. Do đó, có 3 cách xếp vị trí cho số 5. Hai vị trí cịn lại có có 8.7 cách.
Vậy theo quy tắc nhân có 3.8.7 168 số.
Trường hợp 2: d là các chữ số 2, 4, 6, 8 thì d có 4 cách chọn. + Nếu ta chọn số 5 vào vị trí a thì b và c có 8.7 = 56 cách chọn.
+ Nếu ta khơng chọn số 5 vào vị trí a thì a có 7 cách chọn (trừ d , 5 và 0); có 2 cách chọn 5 vào vị trí b hoặc c; vị trí cịn lại có 7 cách chọn nên có 2.7=14 cách chọn b và c.
Do đó, có 4 56 7.14 616 số.
Vậy theo quy tắc cộng ta có 168 616 784 số cần tìm.
Phân tích. Với tư duy sáng tạo thì ta chưa thể dừng lại bài tốn ở đó, vì cách
giải trên ở trường hơp 2 tương đối phức tạp và nhiều trường hợp nhỏ. Vậy ta luôn phải đặt ra câu hỏi: “Có cách nào hay hơn, ngắn gọn và dễ hiểu hơn không?...”.
Ta thấy nếu tập ban đầu không chứa số 0 thì bài tốn sẽ đơn giản hơn nhiều. Vì vậy, ta có thể suy nghĩ có thể tìm gián tiếp tập số cần tìm
Cách 2
Bước 1: Lập dãy gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 5 và chữ số