1. Định nghĩa
a) Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương
phiếu đều có cùng giá trị hiện tại vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất.
Giả sử 2 thương phiếu có mệnh giá C và D và thời hạn tương ứng là n và m thời kỳ. Vào thời điểm tương đương, ký hiệu thời điểm 0, các giá trị hiện tại là
n ' 1 C(1 i) V ; ' m 2 D(1 i) V
Vậy ta có phương trình tương đương
C(1+i)-n = D(1+i)-m (10)
b) Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương vào một ngày nào đó, nếu tổng các
giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu vào ngày đó đều bằng nhau, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất.
Xét 2 nhóm thương phiếu {Ck, nk, k = 1,.., s} và {Bj, mj, j = 1,.., q} Vào thời điểm tương đương, ta có phương trình
j k q s m n k j k 1 j 1 C (1 i) B (1 i) (11) Chú thích:
Ngày chiếu khấu tương đương bao giờ cũng xẩy ra trước tất cả những ngày đáo hạn của mọi thương phiếu.
2. Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu
Định lý
Với lãi gộp, nếu sự tương đương đã xẩy ra vào một ngày nào đó, thì sự tương đương xẩy ra tại mọi thời điểm bất kỳ (trước ngày đáo hạn của các thương phiếu đang xét)
Chứng minh:
a) Trường hợp 2 thương phiếu tương đương Vào thời điểm tương đương, thời điểm 0, ta có
C(1+i)-n = D(1+i)-m (*) Nhân hai vế của (*) với (1+i)p
C(1+i)-n(1+i)p = D(1+i)-m(1+i)p
hay
C(1+i)-(n-p) = D(1+i)-(m-p) (**)
0 p n m
--------|-----------------|------------------|------------------|-------------
C D
Vế trái (**) là giá trị của C tính tại thời điểm p, về phải (**) là giá trị của D tính tại thời điểm p. Phương trình (**) chính là phương trình tương đương tại thời điểm p bất kỳ. b)Trường hợp 2 nhóm thương phiếu tương đương
Vào thời điểm 0, ta có phương trình tương đương
nk mj k j 1 1 C (1 i) B (1 i) q s k j
Nhân 2 vế với (1+i)p:
j k q s (m p) (n p) k j 1 1 C (1 i) B (1 i) k j
Chú thích 1:
Khác với trường hợp lãi đơn (sự tương đương chỉ xẩy ra vào một thời điểm duy nhất), khi tính sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp, ta có thể lựa chọn thời điểm tương đương thuận lợi trong các tính tốn
Chú thích 2:
Các bài toán về sự tương đương của các thương phiếu cũng được áp dụng cho các bài toán về sự thay thế tương đương các khoản nợ.
3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình
Tương tự như trong trường hợp lãi đơn, việc thay thế một nhóm các thương phiếu bằng
một thương phiếu duy nhất cho ta bài toán về thời hạn trả chung.
Nếu mệnh giá của thương phiếu thay thế duy nhất bằng tổng các mênh giá của các
thương phiếu trong nhóm, ta sẽ có bài tốn về thời hạn trả trung bình
4. Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 1:
Một người đi vay muốn thay thế 4 khoản nợ sau: 24.000 USD trả sau 1 năm,
16.000 USD trả sau 1 năm 6 tháng, 30.000 USD trả sau 2 năm 6 tháng, 40.000 USD trả sau 4 năm,
bằng một khoản nợ duy nhất trả sau 5 năm.
Giả sử lãi suất là 6% năm, tính số tiền thay thế phải trả.
Giải:
Gọi mỗi thời kỳ là 6 tháng và lãi suất tương đương một thời kỳ là j thì: (1+j)2 = 1+i = 1,06 (i = 0,06)
Ta có sơ đồ sau, khi đặt thời điểm thay thế là thời điểm 0:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |---------|--------|---------|--------|--------|--------|---------|---------|--------|----------|------- 24.000 16.000 30.000 40.000 C |----------------- >| |.--------------------------------------------->| |--------------------------------------------------------------->| |------------------------------------------------------------------------>| Vào thời điểm thứ 10, phương trình tương đương là
C = 24.000(1+j)8 + 16.000(1+j)7+ 30.000(1+j)5 + 40.000(1+j)2
= 24.000x(1,06)4+16.000x(1,06)3,5+ 30.000x(1,06)2,5 + 40.000x(1,06) = 127.023,57 USD
Ví dụ 2:
Hãy xác định thời hạn trả của khoản nợ duy nhất thay thế cho 3 khoản nợ sau: 10.000 USD trả sau 6 tháng,
18.000 USD trả sau 18 tháng, 20.000 USD trả sau 30 tháng.
Biết lãi suất 6 tháng là 2,5%, và khoản nợ duy nhất là 50.000 USD.
Giải:
Mỗi thời kỳ có độ dài 6 tháng. ta viết phương trình tương đương vào thời điểm 0 và gọi x là thời hạn của khoản nợ 50.000USD thay thế.
Ta có sơ đồ sau:
0 1 2 3 4 5 x 10.000 18.000 20.000 50.000
Vào thời điểm 0, phương trình tương đương là:
50.000 x 1,025-x = 10.000 x 1,025-1 +18.000 x 1,025-3 +20.000 x 1,025-5 50.000 x 1,025-x = 44,147972
1,025-x = 0,882959 Sử dụng logarit giải phương trình trên, ta được
x = - 5,04 5
ln1,025 ln0,882959
thời kỳ 7 ngày = 30 tháng 7 ngày
Ví dụ 3:
Ngày1/7/1990, một người gửi vào ngân hàng một số tiền 4.000 USD. Ngày 1/7/1994, người đó rút 3.000 USD. Ngày 1/7/1998 số dư trong tài khoản là 2.110,87 USD. Vào ngày 1/7 hàng năm, ngân hàng đều thực hiện tư bản hoá. Hỏi:
a) lãi suất hàng năm
Giải:
Trong tính tốn, ta coi khi người đó rút 3.000USD như người đó gửi (- 3000) USD. Do đó ta có sơ đồ sau:
1/7/1990 1/7/1994 1/7/1998 4000 -3000 2110,87
a) Vào ngày 1/7/1998, phương trình tương đương là: 4000(1 + i)8 - 3000(1+i)4 = 2110,87 Đặt x = (1+i)4, ta có phương trình bậc 2:
4x2 - 3x - 2,11087 = 0
Phương trình có hai nghiêm: x1 = 1,192522; x2 = -0,4425 Vậy (1+i)4 = 1,192522 từ đó tìm được lãi suất hàng năm là
i = 1,1925221/4 - 1 = 4,5% b) Lãi suất 6 tháng tỉ lệ j:
j = i/2 = 2,25% Lãi suất 6 tháng tương đương k:
(1+k)2 = 1+i = 1,045 k = 1,045 - 1 = 2,225%
Ví dụ 4:
Một xí nghiệp dự tính mua một cỗ máy có thời hạn sử dụng 3 năm. Sau 3 năm, cỗ máy đã được khấu hao hết. Khi đưa vào sử dụng, riêng cỗ máy này đem lại các khoản thu sau: 30.000.000 đồng vào cuối năm thứ 1, 24.000.000 đồng vào cuối năm thứ 2 và 20.000.000 đồng vào cuối năm thứ 3.
Ngay vào đầu năm thứ 1, xí nghiệp phải trả ngay tiền mua cỗ máy đó. Giả sử lãi suất đầu tư là 10% năm, tính số tiền tối đa cần thiết mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy.
Giải:
Ta có sơ đồ sau:
0 1 2 3 30.000.000 24.000.000 20.000.000
Ta tính tổng các giá trị hiện tại các khoản thu được vào thời điểm 0 (thời điểm trả tiền mua máy):
C = 30.000.000x(1,1)-1 + 24.000.000x(1,1)-2 + 20.000.000x(1,1)-3
= 62.133.734
Vậy số tiền tối đa mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy là 62.133.734 đồng với lãi suất đầu tư giả định là 10%0