Khái niệm điểm bất động ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa khái niệm điểm bất động của tốn tử tất định cho toán tử ngẫu nhiên. Trong những năm gần đây, bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã nhận được sự quan tâm của nhiều tác giả. Phiên bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng cho toán tử tất định đã được chứng minh. Một số tác giả như H. K. Xu, K. K. Tan, X. Z. Yuan, N. Shahzad đã đưa ra các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, khẳng định rằng với một số điều kiện nào đó nếu hầu hết các quỹ đạo của tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 63, 77]). Theo đó, cùng với một số một số giả thiết, chúng ta có thể ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho ánh xạ tất định. Tuy nhiên, các điều kiện để có thể ngẫu nhiên hóa được các định lý điểm bất động của ánh xạ tất định mà các tác giả trước đưa ra thường khá phức tạp, nhiều khi khó chỉ ra ví dụ về tốn tử ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện đó.
Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên. Chúng tôi nhận được các kết quả về bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên như các trường hợp đặc biệt của phương trình tốn tử ngẫu nhiên mà đã được trình bày trong Chương 2. Chúng tơi chỉ ra rằng, với điều kiện tốn tử ngẫu nhiên đo được xác định trên không gian Polish, nếu các quỹ đạo của tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động thì tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên. Từ đó, chúng ta nhận được các kết quả của các tác giả trước
như những trường hợp đặc biệt. Ngoài ra, khái niệm tốn tử hồn tồn
ngẫu nhiên cũng được trình bày. Với khái niệm đó, chúng tơi xem xét
tốn tử ngẫu nhiên một cách tồn cục (không theo từng quỹ đạo). Một số định lý điểm bất động cho tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên co, co xác suất sẽ được chứng minh. Khác với định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên, định lý điểm bất động cho tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên khơng dễ dàng được suy ra bằng áp dụng các kỹ thuật chứng minh tương tự từ các định lý điểm bất động cho toán tử tất định. Sự khác biệt đó phần nào do các điều kiện mang tính xác suất (tồn cục) của tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên.
Nội dung của chương gồm 3 phần: 3.1 Điểm bất động của toán tử
ngẫu nhiên đơn trị, 3.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị và
3.3 Điểm bất động của tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên. Các kết quả trong chương này được công bố trong các bài báo [2, 3, 4] và [5].
3.1 Điểm bất động của tốn tử ngẫu nhiên
đơn trị
Trong phần này, chúng tơi sẽ trình bày định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị. Như những minh họa cho định lý đó, phiên bản ngẫu nhiên của một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định cũng được chứng minh.
Trong những năm gần đây, bài toán điểm xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ tất định là một trong các hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả, nhiều kết quả về sự tồn tại cũng như thuật tốn tìm điểm xấp xỉ tốt nhất được đưa ra. Trong phần này, chúng tôi đưa ra
khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, là phiên bản ngẫu nhiên của khái niệm điểm xấp xỉ tốt nhất. Dựa vào các kết quả về phương trình tốn tử ngẫu nhiên, chúng tôi chứng minh một số điều kiện đủ để một tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất. Nội dung của phần này được đăng trong bài báo [3] và [4].
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là khơng gian metric, C là tập con đóng của
X và f : Ω×C → X là tốn tử ngẫu nhiên.
1. Ta nói với hầu hết ω, f(ω, .) có điểm bất động nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f(ω, x) có điểm bất động.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của f nếu f(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c.
Nếu tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên ξ thì với hầu hết ω, ξ(ω) là điểm bất động của toán tử tất định x 7→ f(ω, x). Do đó,
nếu tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên thì với hầu hết ω,
các quỹ đạo x 7→f(ω, x) của nó có điểm bất động tất định. Tuy nhiên, ngược lại chưa chắc đúng. Chẳng hạn, với f được định nghĩa như trong Ví dụ 2.1.3, với mỗi ω, u(ω) =ω là điểm bất động tất định duy nhất của quỹ đạo x 7→ f(ω, x). Tuy nhiên tốn tử ngẫu nhiên f khơng có điểm bất động ngẫu nhiên, do u(ω) =ω không là ánh xạ đo được với σ-đại số
trong ví dụ đó.
Định nghĩa 3.1.2. Cho X là khơng gian metric, C là tập con đóng của
1. Ta nói với hầu hết ω, f(ω, .) và h(ω, .) có điểm bất động chung nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D các ánh xạ tất định x 7→ f(ω, x) và x7→ h(ω, x) có điểm bất động chung.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên
chung của f và h nếu f(ω, ξ(ω)) =ξ(ω) =h(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ để đảm bảo nếu các quỹ đạo của tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động thì tốn tử đó có điểm bất động ngẫu nhiên.
Định lý 3.1.3. Cho X là không gian Polish, C là tập con đóng của X
và f, h : Ω×C →X là các tốn tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó:
1. Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với hầu hết ω, toán tử tất định f(ω, .) có điểm bất động.
2. Hai tốn tử ngẫu nhiên f và h có điểm bất động ngẫu nhiên chung
khi và chỉ khi với hầu hết ω, các tốn tử tất định f(ω, .) và h(ω, .)
có điểm bất động chung.
Chứng minh. 1. Áp dụng Định lý 2.1.4 cho phương trình ngẫu nhiên
f(ω, x) = g(ω, x), với g : Ω×C →X là tốn tử ngẫu nhiên xác định bởi g(ω, x) = x với mọi ω ∈ Ω, x ∈ C.
2. Áp dụng Định lý 2.2.3 cho phương trình ngẫu nhiên
R(ω, x)∩S(ω, x)∩T(ω, x) 6= ∅,
với R, S, T : Ω ×C → C(X) là các tốn tử ngẫu nhiên đa trị xác định bởi R(ω, x) ={f(ω, x)}, S(ω, x) ={x} và T(ω, x) = {h(ω, x)}
Đặc biệt, với các toán tử ngẫu nhiên liên tục ta có:
Hệ quả 3.1.4. Cho X là khơng gian Polish, C là tập con đóng của X
và f, h : Ω×C →X là các toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó:
1. Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với hầu hết ω, toán tử tất định f(ω, .) có điểm bất động.
2. Hai tốn tử ngẫu nhiên f và h có điểm bất động ngẫu nhiên chung
khi và chỉ khi với hầu hết ω, các toán tử tất định f(ω, .) và h(ω, .)
có điểm bất động chung.
Chứng minh. Vì f, h là các toán tử ngẫu nhiên liên tục nên từ Định lý
1.3.9 suy ra f, h là các toán tử ngẫu nhiên đo được. Theo Định lý 3.1.3 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.1.5. Khẳng định 1 của Định lý 3.1.3 mở rộng [77, Định lý 1],
[15, Hệ quả 3.1] theo hướng loại bỏ bớt các điều kiện về không gian và toán tử ngẫu nhiên f; mở rộng [58, Bổ đề 3.1] theo hướng loại bỏ điều kiện khá phức tạp về tốn tử f mà trong đó tác giả gọi là điều kiện (A). [58, Bổ đề 3.1] đóng vai trị then chốt trong việc chứng minh các kết quả chính của bài báo.
Theo Định lý 3.1.3, mỗi định lý điểm bất động cho toán tử tất định đơn trị sẽ sinh ra một định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị. Các định lý điểm bất động ngẫu nhiên sau đây là các minh họa cho Định lý 3.1.3, chúng là phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định tương ứng.
Định lý 3.1.6. Cho X là không gian Polish và f : Ω×X →X là tốn
tử ngẫu nhiên đo được thỏa mãn điều kiện co như sau: Với mỗi ω ∈ Ω
d(f(ω, x), f(ω, y)) ≤ α(ω) max{d(x, f(ω, x)), d(y, f(ω, y)} +β(ω) maxd(x, y), d(x, f(ω, x)), d(y, f(ω, y)),1
2[d(x, f(ω, y)) +d(y, f(ω, x))] +γ(ω)[d(x, f(ω, y)) +d(y, f(ω, x)]
với mọi x, y ∈ X và α, β, γ : Ω → (0; 1) là các ánh xạ thỏa mãn α(ω) +
β(ω) + 2γ(ω) = 1 với mọi ω ∈ Ω. Khi đó f có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất.
Chứng minh. Với mỗiω, theo Định lý 1.4.2, f(ω, .)có điểm bất động duy
nhất. Theo Định lý 3.1.3, f có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất.
Định lý 3.1.7. Cho K là tập con khác rỗng, compact và lồi của khơng
gian Banach khả ly X; f, g : Ω×K → K là các toán tử ngẫu nhiên từ
K vào K, trong đó f là tốn tử liên tục, g là tốn tử khơng giãn theo
nghĩa: Với mỗi ω ta có
kg(ω, x)−g(ω, y)k ≤ kx−yk
với mọi x, y ∈ K. Nếu với mỗi ω các ánh xạ f(ω, .) và g(ω, .) giao hốn
thì các tốn tử ngẫu nhiên f và g có điểm bất động ngẫu nhiên chung.
Chứng minh. Với mỗi ω, theo Định lý 1.4.4, f(ω, .) và g(ω, .) có điểm
bất động chung z(ω) ∈ K. Theo Định lý 3.1.3, các tốn tử ngẫu nhiên
f và g có điểm bất động ngẫu nhiên chung ξ = ξ(ω).
Trong phần cịn lại của mục này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, đó là một mở rộng của khái niệm điểm
bất động ngẫu nhiên và là phiên bản ngẫu nhiên của khái niệm điểm
xấp xỉ tốt nhất trong giải tích tất định. Các kết quả về điểm xấp xỉ ngẫu
nhiên tốt nhất được tác giả công bố trong bài báo [4].
Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng gian metric(X, d).
Với ánh xạ f :A → B nhìn chung ta có
inf
x∈Ad(x, f(x)) ≥d(A, B).
Giả sử tồn tại x0 ∈ A sao cho d(x0, f(x0)) = d(A, B). Khi đó, x0 là một điểm xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ f. Nếu A∩B 6= ∅ thì d(A, B) = 0 nên điểm xấp xỉ tốt nhất x0 trở thành điểm bất động của f. Như vậy, khái niệm điểm xấp xỉ tốt nhất là một mở rộng của khái niệm điểm bất động. Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất cho trường hợp toán tử ngẫu nhiên.
Định nghĩa 3.1.8. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng gian metric (X, d) và f : Ω×A →B là tốn tử ngẫu nhiên từ A vào B.
Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → A được gọi là điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của toán tử f nếu
d(ξ(ω), f(ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c.
Tương tự như trường hợp tất định, điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của toán tử ngẫu nhiên f trở thành điểm bất động ngẫu nhiên của f
nếu A ∩ B 6= ∅. Nhìn chung, từng quỹ đạo của tốn tử ngẫu nhiên f
có điểm xấp xỉ tốt nhất khơng kéo theo tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất. Định lý 3.1.9 sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại của điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất khi các quỹ đạo của tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ tốt nhất.
Định lý 3.1.9. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng gian
Polish X và f : Ω×A →B là tốn tử ngẫu nhiên đo được. Nếu tồn tại
tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ f(ω, .) : A → B có
điểm xấp xỉ tốt nhất thì tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên
tốt nhất.
Chứng minh. Ta xác định ánh xạ ϕ : Ω × A → R theo công thức
ϕ(ω, x) = d(x, f(ω, x)) với mỗi x ∈ A, ω ∈ Ω. Do f là toán tử ngẫu nhiên đo được nên theo Bổ đề 1.2.3 ϕ là toán tử ngẫu nhiên đo được. Do với mỗi ω ∈ D ánh xạ f(ω, .) : A → B có điểm xấp xỉ tốt nhất nên phương trình ngẫu nhiên f(ω, x) = d(A, B) có nghiệm tất định với hầu hết ω. Theo Định lý 2.1.4, tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω →A là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình f(ω, x) = d(A, B); nghĩa là
d(ξ(ω), f(ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c.
Do vậy, ξ chính là điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của toán tử ngẫu nhiên f.
Hệ quả 3.1.10. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng gian
Polish X và f : Ω×A→ B là tốn tử ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại
tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ f(ω, .) : A → B có
điểm xấp xỉ tốt nhất thì tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên
tốt nhất.
Chứng minh. Vì f là tốn tử ngẫu nhiên liên tục nên theo Định lý 1.3.9
f là toán tử ngẫu nhiên đo được. Từ Định lý 3.1.9 ta có điều phải chứng minh.
Sau đây, như một minh họa cho Định lý 3.1.9, ta sẽ đưa ra phiên bản ngẫu nhiên của Định lý 1.4.11.
Định lý 3.1.11. Cho A, B là hai tập con compact khác rỗng của không
gian Polish (X, d); f : Ω×A →B và g : Ω×B → A là các toán tử ngẫu
nhiên sao cho: Với mỗi ω ∈ Ω
1. các ánh xạ tất định x 7→ f(ω, x) và y 7→g(ω, y) có tính co.
2. với x ∈ A và y ∈ B, nếu d(x, y) > d(A, B) thì
d(f(ω, x), g(ω, y)) < d(x, y).
Khi đó, các tốn tử ngẫu nhiên f và g có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt
nhất. Hơn nữa, với mỗi x0 cố định thuộc LA0(Ω), đặt
x2n+1 = f(ω, x2n), x2n = g(ω, x2n−1) (n ≥0).
Khi đó, dãy các biến ngẫu nhiên (x2n) hội tụ h.c.c. về điểm xấp xỉ ngẫu
nhiên tốt nhất của f và dãy các biến ngẫu nhiên (x2n+1) hội tụ h.c.c. về
điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của g.
Chứng minh. Từ giả thiết 1. suy ra f và g là các toán tử ngẫu nhiên
liên tục. Với mỗi ω ∈ Ω, theo Định lý 1.4.11, các ánh xạ x 7→ f(ω, x)
và y 7→g(ω, y) có điểm xấp xỉ tốt nhất. Do đó, theo Hệ quả 3.1.10, các tốn tử ngẫu nhiên f và g có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất.
Theo Định lý 1.3.9, x2n và x2n+1 là các biến ngẫu nhiên. Với mỗi
ω ∈ Ω, theo Định lý 1.4.11, dãy (x2n(ω)) hội tụ về điểm xấp xỉ tốt nhất của f(ω, .), dãy (x2n+1(ω)) hội tụ về điểm xấp xỉ tốt nhất của g(ω, .).
nhiên tốt nhất của f và dãy các biến ngẫu nhiên (x2n+1) hội tụ h.c.c. về điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của g.
3.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
đa trị
Trong mục này, các kết quả về điểm bất động của tốn tử ngẫu nhiên đa trị sẽ được trình bày. Chúng ta cũng xét bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các tốn tử ngẫu nhiên mà trong đó điểm bất động ngẫu nhiên là một trường hợp đặc biệt. Nội dung của mục này được đăng trong bài báo [3].
Định nghĩa 3.2.1. Cho X là không gian metric, C là tập con đóng của
X và T : Ω×C →2X là tốn tử ngẫu nhiên đa trị.
1. Ta nói với hầu hết ω, T(ω, .) có điểm bất động nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ tất định đa trịx 7→ T(ω, x)
có điểm bất động.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của T nếu ξ(ω) ∈ T(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Định nghĩa 3.2.2. Cho X là khơng gian metric, C là tập con đóng của
X và S, T : Ω×C → 2X là các tốn tử ngẫu nhiên đa trị.
1. Ta nói với hầu hết ω, S(ω, .) và T(ω, .) có điểm bất động chung nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D các ánh xạ tất định đa trị x 7→S(ω, x) và x 7→T(ω, x) có điểm bất động chung.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên
chung của S và T nếu ξ(ω) ∈ S(ω, ξ(ω)) h.c.c. và ξ(ω) ∈ T(ω, ξ(ω))
h.c.c.
Định nghĩa 3.2.3. Cho X, Y là các khơng gian metric, f : Ω×X → Y
là tốn tử ngẫu nhiên và T : Ω×X → 2Y là tốn tử ngẫu nhiên đa trị.
1. Ta nói với hầu hết ω, f(ω, .) và T(ω, .) có điểm trùng nhau nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D các ánh xạ tất định
x 7→ f(ω, x) và x7→ T(ω, x) có điểm trùng nhau.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω →X được gọi là điểm trùng nhau ngẫu nhiên của f và T nếu f(ω, ξ(ω)) ∈ T(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Khái niệm điểm trùng nhau ngẫu nhiên là sự mở rộng của khái niệm