Không gian hàm
2.3.2 Chuỗi ánh xạ Định nghĩa
Định nghĩa
+ Cho{fn}n∈N∗ là dãy các ánh xạ từ tập X 6=∅ vào không gian Banach F. Biểu thức
∞
P
n=1
fn =f1+f2+...+fn+...được gọi là chuỗi ánh xạ thành lập từ dãy ánh xạ đã cho.
+ Với mỗin ∈N∗, đặt Sn=f1+f2+...+fn. Dãy ánh xạ{Sn} được gọi là dãy các tổng riêng của chuỗi ánh xạ
∞P P n=1 fn. + Chuỗi ánh xạ ∞ P n=1
fn được gọi là hội tụ trên tậpA⊂X ⇐⇒ ∀x∈Achuỗi
∞
P
n=1
fn hội tụ trongF ⇐⇒dãy {Sn} hội tụ trênA.
Tập hợp tất cả các điểm x ∈ X mà chuỗi
∞
P
n=1
fn(x) hội tụ trong F
được gọi là tập hội tụ của chuỗi
∞P P n=1 fn. + Cho chuỗi ánh xạ ∞ P n=1 fn hội tụ trên trập A⊂X.
Ta gọi tổng của chuỗi là ánh xạ S : A → F xác định bởi S(x) =
lim n→∞Sn(x) = ∞ P n=1 fn(x),∀x∈A.
Với mỗin∈N∗ ta gọi phần dư cấp nlà ánh xạ Rn :A →F xác định bởiRn(x) =S(x)−Sn(x) = ∞ P k=n+1 fk(x),∀x∈A. Định nghĩa + Chuỗi ánh xạ ∞ P n=1
fn được gọi là hội tụ tuyệt đối trên tập A ⊂ X nếu ∀x∈A chuỗi ∞ P n=1 ||fn|| hội tụ trong R. + Chuỗi ánh xạ ∞ P n=1
fn được gọi là hội tụ đều trên tập A ⊂ X nếu dãy các tổng riêng {Sn} hội tụ đều trênA.
Định lý 24.
∞
P
n=1
fn hội tụ đều trên tập A⊂X ⇐⇒
∞
P
n=1
2.3. DÃY ÁNH XẠ, CHUỖI ÁNH XẠ 27phần dư Rn