Bài tốn xác định tập sinh cực tiểu cho A-mơđunPs có liên quan đến lý thuyết cobordism (xem Peterson [59]). Bên cạnh đóF2⊗A Ps cịn là miền giá trị của (đối ngẫu của) đồng cấu chuyển đại số. Do đó, vấn đề này đươc nghiên cứu trong suốt các thập niên gần đây. Bài tốn này đã được xác định hồn tồn vớis≤ 3(xem Peterson [58, 59], Singer [63, 64] và Kameko [34]). Tuy vậy, đây vẫn là một vấn đề khó trong tính tốn. Cho đến gần đây N. Sum [69] thông báo (trong một tiền ấn phẩm dài 237 trang) đã hoàn thành việc xác định cơ sở choF2⊗A P4.
Trong dãy phổ May choPs, tại bậc đồng điều 0, ta có
Ep,−p,t2 (Ps)∼= H0(E0A, E0Ps)p,−p+t = (F2⊗E0A (E0Ps))p,−p+t,
nên việc xác định cấu trúc trang E2 của nó liên quan đến vấn đề xác định tập sinh (cực tiểu) choE0Ps, xem như môđun trên đại số Lie hạn chếE0A. Bài tốn “hit” thứ hai này có thể được xem như là một “xấp xỉ” của bài toán “hit” ban đầu. Bước đầu tiên trong việc giải bài toán “hit” thứ hai là xác định bậc lọc của các đơn thức trongE0Ps. Đây cũng là một vấn đề khơng dễ. Trong [76], Vakil tìm ra một thuật tốn đệ quy để xác định bậc lọc của các phần tử sinh củaE0P1tại mỗi bậc cho trước và trên cơ sở đó thực hiện một số tình tốn cho đến bậc 31, nhưng thuật tốn này không cho ta một công thức tường minh để xác định bậc lọc của xn1 xem như một hàm củan.
Cấu trúcE0A-môđun củaE0Psliên hệ với cấu trúcA-mơđun củaPs thơng qua tồn cấu
Ep,−p,t2 (Ps)Ep,−p,t∞ (Ps),
trong đó với mỗi bậc trongtcố định, Ep,−p,t∞ (Ps), khipthay đổi, là thành phần phân bậc liên kết của(F2⊗A Ps)t.
Nếuf ∈ Ps một đa thức thuần nhất, ta ký hiệuEr(f)và[f]tương ứng là lớp của
f trongEr và trong F2⊗A Ps. Đặc biệt, E1(f) = E0(f) là lớp củaf trongE0Ps. Để xác địnhEr(f)ta chỉ cần xét thành phần có bậc lọc cao nhất củaf. Thành phần này được gọi là thành phần cốt yếu (essential) của f, và được ký hiệu bởi ess(f).
Ví dụ,
ess(x71x132 x133 +x91x112 x133 +x81x122 x133 ) =x71x132 x133 ,
vìx71x132 x133 nằm trong lọc −4trong khi các đơn thức phía sau nằm trong lọc−5và
−9.
Ta thấy đa thứcf bị “hit” trongPs (tương ứng, E0(f)bị “hit” trong E0Ps) nếu
[f]tầm thường trongF2⊗APs(tương ứng,E2(f)tầm thường trongF2⊗E0AE0Ps).
Bổ đề 3.3.1. Chof ∈ Ps là một đa thức thuần nhất. Nếuf là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường trong dãy phổ May choPs thìess(f)khơng bị “hit” trongPs.
Chứng minh. Dễ thấy rằngE2(f) =E2(ess(f))và như vậyE∞(f) =E∞(ess(f)).
Giả sử phản chứng rằngess(f)bị “hit” trongPs. Viếtess(f) =P
iSqtifi. Điều này
chứng tỏ rằng tồn tạir >0sao cho Er(f) = 0trongEr.
Ví dụ 3.3.2. Xétg = x3y5+x5y3 ∈ P3tại bậc 8. Vìg = Sq2(x3y3) +Sq4(x2y2)nên
g bị “hit” trong Ps, hay [g] = 0. Mặt khác, E0(g) ∈ E−1,90 (P2)khơng tầm thường. Nhưng vì
g = Sq2(x3y3) +x4y4,
vàx4y4 ∈ F−4P2tầm thường trongE−1,90 P2, nên trongE2,E2(g) =Sq2E0(x3y3)∈
E0
−1,3A ·E0
0,6P2. Như vậy,E2(g)tầm thường trongE2(P2).
Ví dụ sau đây cho ta thấy rằng nếu f là một đa thức thuần nhất sao cho E0(f)
tầm thường trongE2(Ps)thìf vẫn có thể khơng bị “hit” trongPs.
Ví dụ 3.3.3. Đặt m= x7 1x13
2 x13
3 ∈ P3, khơng khó để kiểm tra rằngmkhơng bị “hit” trongP3. Mặt khác, vì
m=Sq2(x71x112 x133 ) +x91x112 x133 +x81x122 x133 +x71x122 x143 +x81x112 x143 ,
trong đóx91x112 x133 ∈ F−5P3 và ba đơn thức cuối nằm trong lọc nhỏ hơn. Do đó,
E0(m) = Sq2E0(x71x211x133 )∈ E−4,370 P3.
Ví dụ 3.3.4. Xétm = x1x22x23+x21x2x23+x21x22x3 = Sq2(x1x2x3), nên m bị “hit” trongP3. Mặt khác, vìm ∈F−2P3và khơng tồn tại một phần tử{θ}f ∈ F−1(A⊗P3)
nào sao cho θ(f) = m (modulo các hạn tử trong FpP3 với p < −2), nên E0(m)
không bị “hit” trongE0 −2,7P3.
Như vậy,E0(m)khơng bị “hit” trongE0Ps thìmvẫn có thể bị “hit” trongPs. Mệnh đề sau đây là kết quả chính của mục này.
Mệnh đề 3.3.5. Chof ∈ Ps là một đa thức thuần nhất và ess(f) ∈ FpPs. Phần tử
f là một chu trình vĩnh cửu khơng tầm thường khi và chỉ khiess(f)không bị “hit” trong Ps và không tồn tại một đa thức không bị “hit”g nào,g ∈ FqPs, với q < p,
sao choess(f)−g bị “hit” trongPs.
Chứng minh. Nếu f là một chu trình vĩnh cửu tầm thường, thì tồn tại r sao cho
Er(f)tầm thường trongEr. Khi đó, ta có thể viết
ess(f) = X
i,1≤k≤r
θkifki +g,
trong đóg là một đa thức trongFqPs, với q < p. Như vậy, g bị “hit” trongPs khi và chỉ khiess(f)cũng vậy. Ngược lại, nếu tồn tạig ∈ FqPs vớiq < psao choess(f)−g
bị “hit” trongPs thì, trongEr p,∗,∗Ps,
Er(f) = Er(ess(f)−g).
Vìess(f)−g bị “hit” trongPs,ess(f)−g là một chu trình vĩnh cửu tầm thường do đóf cũng vậy.