Kết luận chương 3

3 BÀI TOÁN CỘNG HƯỞNG ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG

3.4 Kết luận chương 3

Nội dung chính của chương 3 được viết trong 2 mục 3.2 và 3.3.

Trong mục 3.2 dựa trên những giả thiết đặt ra đối với hệ phương trình (3.2), chúng tơi đã đưa ra điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng (3.13) và xây dựng không gian năng lượng cho phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với bài tốn. Từ đó áp dụng nguyên lý cực tiểu đối với phiếm hàm khả vi liên tục yếu (xem Định lý 1.2.3), chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm năng lượng liên kết với bài tốn. Điểm tới hạn chính là nghiệm yếu khơng tầm thường của bài toán cộng hưởng (3.2).

Mục 3.3 xét hệ (3.41)là trường hợp riêng của hệ (3.2) khi các hàmhi(x) ≡1, x ∈ Ω. Hệ (3.41) được xét trong không gian Sobolev X = W01,p(Ω)×W01,p(Ω). Hiển nhiên các kết quả nhận được trong mục 3.2 đều đúng cho bài toán Dirichlet đối với hệ (3.41). Tuy nhiên do đặc trưng của hệ (3.41) ta có thể đưa ra một điều kiện đủ mới, đó là điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng (3.50), áp dụng định lý điểm yên ngựa chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của hệ (3.41) trong không gian X.

Chú ý rằng: Các dấu bất đẳng thức trong các điều kiện Landesman-Lazer suy rộng (3.13) và (3.50) là ngược nhau. Do đó hai điều kiện là khác nhau cơ bản.

Như vậy bài toán cộng hưởng (3.41) tồn tại nghiệm yếu trong không gian X nếu một trong hai điều kiện (3.13) hoặc (3.50) thỏa mãn.

KẾT LUẬN

Mục đích chính của luận án là đưa ra các điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng, áp dụng lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach, dựa vào nguyên lý cực tiểu hay định lý điểm yên ngựa (Saddle point theorem), chứng minh phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với bài tốn biên được xét có điểm tới hạn trong khơng gian năng lượng được xây dựng thích hợp và từ đó suy ra bài tốn biên có nghiệm yếu khơng tầm thường. Kết quả của luận án được thể hiện ở các nội dung sau đây:

1. Chứng minh được bài toán Neumann cộng hưởng đối với một lớp phương trình elliptic phi tuyến, không đều trong miền không bị chặn Ω ⊂ RN với biên ∂Ωtrơn, tồn tại ít nhất một nghiệm yếu khơng tầm thường trong khơng gian con E được xây dựng thích hợp của khơng gianH1(Ω), bằng cách áp dụng lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach thông qua nguyên lý cực tiểu, định lý điểm yên ngựa và điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng. 2. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Neumann cộng hưởng trong miền Ω ⊂ RN không bị chặn với biên ∂Ω trơn, đóng và bị chặn đối với một lớp hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính, khơng đều dạng Gradient. Giả thiết quan trọng mà trước đây chưa được xét đến đó là các hàm phi tuyến f(x, u, v), g(x, u, v) có mặt trong hệ phương trình phụ thuộc vào cả hai biến u và v. Dựa vào các giả thiết ấn định lên hệ phương trình (2.41), chúng tơi đã đưa ra một dạng suy rộng của điều kiện Landesman-Lazer, áp dụng nguyên lý cực tiểu, định lý điểm yên ngựa, chứng minh phiếm hàm năng lượng Euler-Lagrange liên kết với bài toán tồn tại điểm tới hạn, và do đó bài tốn (2.41) tồn tại nghiệm yếu không tầm thường trong không gian E được xây dựng thích hợp.

3. Xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với một hệ phương trình elliptic cộng hưởng, khơng đều loại (p, q)−Laplacian. Việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán được đưa về việc chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết trong không gian năng lượng

được xây dựng thích hợp nhờ nguyên lý cực tiểu, định lý điểm yên ngựa và điều kiện dạng Landesman-Lazer suy rộng.

Trong phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân điều kiện Landesman- Lazer có thể được xem như là một phương pháp phổ biến để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài tốn biên khơng tuyến tính. Tùy thuộc vào bài tốn biên được nghiên cứu người ta có thể xây dựng những điều kiện dạng Landesman- Lazer suy rộng khác nhau. Hy vọng rằng trong tương lai chúng ta có thể nhận được những kết quả có ý nghĩa hơn.

DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1]. Hoang Quoc Toan, Bui Quoc Hung (2014), "On a generalization of the Landesman-Lazer condition and Neumann problem for nonuniformly semilin- ear elliptic equations in an unbounded domain with nonlinear boundary condi- tion,Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, Tome 57(105) No. 3, 2014, 301-317. [2]. Hoang Quoc Toan, Bui Quoc Hung (2014), "On a Neumann problem at resonance for nonuniformly semilinear elliptic systems in an unbounded domain with nonlinear boundary condition", Bull. Korean Math. Soc, 51(2014), No. 6,

1669–1687.

[3]. Bui Quoc Hung, Hoang Quoc Toan (2016), "On existence of weak solutions for a p-Laplacian system at resonance",Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas, March 2016, Volume 110,

Issue 1, pp 33-47.

[4]. Bui Quoc Hung, Hoang Quoc Toan (2016), "On a p-Laplacian system and a generalization of the Landesman-Lazer type condition", Bulletin of the Iranian Mathematical Society, (Accepted).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A.Ambrosetti, P.H.Rabinowitz (1973), "Dual variational methods in critical point theory and applications", Journal of Functional Analysis, 14(1973), 349-381.

[2] A.Anane, J.P Gossez (1990), "Strongly nonlinear elliptic problems near resonance a variational approach", Comm. Partial Differential Equation,

15(1990), 1141-1159.

[3] D.Arcoya, L.Orsina (1997), "Landesman-Lazer condition and quasilinear elliptic equations", Nonlinear Analysis, 28(1997), 1623-1632.

[4] L. Boccando, P.Drábek and M.Kuˇcera (1989), "Landesman-Lazer condition for strongly nonlinear boundary value problem", Commentationes mathe- maticae Universitatis Carolinae, 30(1989), 411-427.

[5] L. Boccando, D.G. de Figueiredo (2002), "Some remarks on a system of quasilinear Elliptic equations", Nonlinear Differential Equations and Ap- plications NoDEA, (2002), 9(3), 309-323.

[6] H. Brezis (1992), Analyse fonctionelle théorie et applications Masson.

[7] P. Caldiroli, R.Musina (2000), "On a variational degenerate Elliptic prob- lem",Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA, (2000), 7(2), 187-199.

[8] N.T.Chung, H.Q.Toan (2009), "Existence result for nonuniformly degen- erate semilinear elliptic systems in RN", Glasgow Mathematical Journal,

51(2009), 561-570.

[9] G. Cerami (1978), "Un criterio di esistenza per i punti critici su varietá ilimitate", Rend. Acad. Sci. Let. Ist. Lombardo, 112(1978), 332-336.

[10] D.G.Costa (1994), "On a class of elliptic systems inRN",Electronic Journal of Differential equations, Vol 1994(1994), No 7, 1-14.

[11] P. Drábek (1992),Solvability and Bifurcations of Nonlinear Equations, vol. 264 of Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman Scientific, Technical, Harlow, UK.

[12] P. Drábek, Jaroslav Milota (2013), Methods of Nonlinear Analysis: Ap- plications to Differential Equations, Birkhăauser Advanced Texts Basler Lehrbăucher, 2nd ed. 2013.

[13] D.M. Duc (1989), "Nonlinear singular elliptic equation", London Math. Soc., 40(1989), 420-440.

[14] D.M. Duc, N.T. Vu (2005), "Nonuniformly Elliptic equations ofp-Laplacian type", Nonlinear Analysis, 61 (2005), 1483-1495.

[15] D.G. de Figueiredo and W.M. Ni (1979), "Perturbations of second order linear elliptic problems by nonlinearities without Landesman-Lazer condi- tion", Nonlinear Analysis, 3(1979), 629-634.

[16] S. Fuˇcík (1980), Solvability of nonlinear equations and boundary value prob- lems, D. Riedel Publishing Company, Holland.

[17] Ghasem A. Afrouzi, Maryam Mirzapour, Qihu Zhang (2012), "Simplicity and stability of the first eigenvalue of a (p;q) Laplacian system",Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2012(2012), No. 08, 1-6.

[18] D.Gilbarg, N.Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second order, Springer Verlag Berlin, 2001.

[19] Trinh Thi Minh Hang and H.Q.Toan (2011), "On existence of weak solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving p-Laplacian in an unbounded domain", Bulletin of the Korean Mathematical Society,

(2011)48, 1169-1182.

[20] D.A.Kandilakis, M.Magiropoulos (2007), "A p-Laplacian system with reso- nance and nonlinear boundary conditions on an unbounded domain",Com- ment. Math. Univ. Carolin, 48, 1(2007), 59-68.

[21] Nguyen Lam and Guozhen Lu (2012), "Existence and multiplicity of solu- tions to equations of N-Laplacian type with critical exponential growth in

[22] E.M. Landesman, A.C. Lazer (1970), "Nonlinear perturbations of elliptic boundary value problems at resonance", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 19(1970), 609–623.

[23] A.C. Lazer, D.E. Leach (1969), "Bounded perturbations of forced harmonic oscillators at resonance", Annali di Matematica Pura ed Applicata, (1969),

82(1), 49-68.

[24] Alan C. Lazer (2000), "A Second look at the first result of Landesman-Lazer type", Nonlinear Differential Equations, Electronic Journal of Differential Equations, Conf. 05, 2000, 113-119.

[25] M.Lucia, P.Magrone and Huan-Songzhou (2003), "A Dirichlet problem with asymptotically linear and changing sign nonlinearity", Revista Matematice Complutense, (2003), 16, N-2, 465-481.

[26] P. de Nápoli, M.C Mariani (2003), "Moutain pass solutions to equations of p-Laplacian type", Nonlinear Analysis, 54 (2003), 1205-1219.

[27] Q.A.Ngo, H.Q.Toan (2008), "Existence of solutions for a resonant prob- lem under Landesman-Lazer condition", Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2008, No 98, 1-10.

[28] Q.A.Ngo, H.Q.Toan (2009), "Some Remarks on a class of Nonuniformly Elliptic Equations of p-Laplacian type", Acta Applicandae Mathematicae,

(2009) vol. 106, no. 2, 229–239.

[29] Zeng-Qi Ou, Chun-Lei Tang (2008), "Resonance problems for the p- Laplacian systems", Journal of Mathematical Analysis and Applications,

345(2008), 511-521.

[30] M.Struwe (2008), Variational methods, Second edition, Springer Verlag. [31] N.M. Stavrakakis, N.B. Zographopoulos (1999), "Existence results for quasi-

linear elliptic systems inRN",Electronic Journal of Differential Equations,

Vol. 1999, No. 39, 1–15.

[32] C.L.Tang (1997), "Solvability for two-point boundary value problems",

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 216 (1997), 368-374.

[33] H.Q.Toan, N.T.Chung (2009), "Existence of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equations in unbounded domains", Nonlin- ear Analysis, 70(2009) 3987-3996.

[34] P.Tomiczek (2001), "A generalization of the Landesman-Lazer condition",

Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2001(2001) N04, 88, 1-11.

[35] P.H Rabinowitz (1978), "Some minimax theorems and applications to non- linear partial differential equations, in: L. Cesari,R. Kannan, H.F. Wein- berger (Eds.)",Nonlinear Analysis (A collection of papers in honor of Erich H. Rothe), Academic Press, New York, 1978, 161–177.

[36] N.B.Zographopoulos (2004), " p-Laplacian systems on resonance",Applica- ble Analysis, 83(2004), 509-519.

[37] N.B.Zographopoulos (2004), "On a class of degenerate potential elliptic system",Nonlinear Differential Equations and Applications, 11(2004), 191-