Bây giờ ta xét phương trình sai phân ẩn (2.3.1) khi n < 0. Ta gọi đó là
phương trình sai phân ẩn lùi. Trong trường hợp này, để tiện theo dõi ta
viết lại phương trình sai phân ẩn như sau
BnXn = AnXn+1,
X0 = x, n = −1,−2, . . . . (2.3.6)
Tương tự như khi giải phương trình sai phân tiến với n ≥ 0, chúng ta giả
thiết rằng rankB(ω) = r với ω ∈ Ω P −h.c.c., trong đó r (0 < r ≤ d) là
một hằng số không ngẫu nhiên. Chọn Q(ω) là ánh xạ chiếu đo được tùy ý lên không gian kerB(ω). Giả sử T là một biến ngẫu nhiên với giá trị ở trên
GL(Rd) sao cho T(ω)|kerB(ω) là một đẳng cấu giữa kerB(ω) và kerB(θω).
Đặt
G(ω) := B(ω) +A(ω)T(ω)Q(ω).
Giả sử rằng G(ω) là không suy biến với xác suất 1. Từ giả thiết này ta thấy phương trình (2.3.6) có chỉ số 1 mềm theo Định nghĩa 2.3.2.
Cũng giống như trên ta đặt
Qn(ω) = Q(θnω), Gn(ω) = G(θnω), Pn = I −Qn, Tn(ω) = T(θnω).
(2.3.7) Chúng ta ký hiệu Yn = PnXn và Zn = QnXn. Bằng phương pháp tương tự như ở trên ta có thể tách phương trình (2.3.6) thành
Yn = PnGn−1AnYn+1, Zn+1 = −TnQnGn−1AnYn+1, Xn = Zn+ Yn, n = −1,−2, . . . .
Phép chiếu chính tắc trong trường hợp này là Qbn := Tn−1Qn−1Gn−1−1An−1. Toán tử Qnb là phép chiếu lên kerBn dọc theo không gian Sn−1 = {ξ :
An−1ξ ∈ imBn−1}. Đặt Gn(ω) =b Bn(ω) +An(ω)TnQn. Lập luận tương tựb
như phần trước chúng ta được kết quả sau.
Bổ đề 2.3.2 Các tốn tử chiếu chính tắc Qnb và ma trận PnGb n−1An độc lập với cách chọn Q và T. Ở đây Pbn = I −Qbn.
Vì Qbn là tốn tử chiếu chính tắc nên chúng ta có QbnXn = 0 với mỗi
n < 0. Do đó Xn = Q−1i=nPibGbi−1AiPi+1x,b n = −1,−2, . . . X0 = x ∈ Jb, (2.3.8)
với Jb = {ξ ∈ Rd : Qb0ξ = 0}. Tương tự như trong Mục 2.3.1, chúng ta thấy rằng bài toán giá trị ban đầu X(0) = x của phương trình lùi (2.3.6) có nghiệm duy nhất được xác định bởi cơng thức (2.3.8) khi và chỉ khi
x ∈ Jb.
Nhận xét 2.3.5
1. Chúng ta có một số nhận xét đối với các biểu thức nghiệm (2.3.5) và (2.3.8) như sau: Để nhận được công thức (2.3.5) cho trường hợp n≥ 0,
ta cần giả thiết X0 = x ∈ Jf; trong khi đó đối với phương trình lùi (với
n ≤ 0) để nhận được (2.3.8) ta cần có X0 = x ∈ Jb. Do đó, nghiệm
của (2.3.1) với n ∈ Z với điều kiện ban đầu X0 = x tồn tại duy nhất khi và chỉ khi x ∈ Jf ∩ Jb.
2. Khơng giống như phương trình sai phân thường ngẫu nhiên, nhìn chung sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình sai phân ẩn ngẫu nhiên đòi hỏi điều kiện ban đầu phải là biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong