Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
2.3. Thử nghiệm số
2.3.1. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính quá xác định
Ta sẽ giải một lớp các bài toán bằng hai phương pháp chỉnh lặp song song dạng đơn giản như trong Trường hợp 1. Ta chú ý rằng việc rời rạc hóa một hệ các phương trình tích phân bằng cơng thức cầu phương và phương pháp trùng khớp dẫn đến một hệ tuyến tính quá xác định. Với một số điều kiện đặt lên các nhân của các phương trình tích phân, hệ tuyến tính q xác định nhận được có ma trận hệ sốB phân tách thành các ma trận đối xứng, xác định không âm.
Định nghĩa 2.3.1. Cho X là một tập tùy ý. Ánh xạ K : X×X → R được gọi là một
nhân xác định không âm nếu K(x,y) =K(y,x) và với mọi dãy x1,x2, . . . ,xn, xi ∈X và
c1,c2, . . . ,cn,ci∈Rta có
n
∑
i,j=1
cicjK(xi,xj)≥0.
Ta xét một hệ các phương trình tích phân Fredholm loại I
b
Z
a
Ki(t,s)x(s)ds= fi(t) i=1,2, . . . ,N, (2.32)
trong đóKi(t,s)và fi(t)lần lượt là các nhân và hàm liên tục cho trước.
Giả sử, các hàm Ki(t,s) của hệ (2.32) là các nhân đối xứng, xác định khơng âm và liên tục theo hai biến. Khi đó, chúng tơi sử dụng một cơng thức cầu phương có dạng b R a h(t)dt= M ∑ l=0 γlh(tl) +r, trong đó a≤t0<t1 < . . . <tM ≤b là các điểm lưới, γ0, . . . ,γM là các trọng số và r là phần sai số trong công thức cầu phương. Tiếp theo, sử dụng phương pháp trùng khớp và áp dụng công thức cầu phương cho hệ (2.32) vớixil:=γlxi(tl), fji:= fi(tj),ta nhận được hệ phương trình tuyến tính kích thướcN(M+1)vớiM+1ẩn.
M
∑
l=0
γlKi(tj,tl)xil = fji, j =0,1, . . . ,M, i=1,2, . . . ,N. (2.33) Ký hiệuBi là một ma trận có các hệ số nhận giá trịKi(tj,tl)vàgilà một véctơ với các phần tửgij= fji với j,l=0,1, . . . ,M,i=1,2, . . . ,N. Khi đó, từ định nghĩa nhân
định khơng âm và có thể áp dụng hai phương pháp chỉnh lặp song song dạng đơn giản để giải hệ quá xác định này.
Trong các Ví dụ 1 và Ví dụ 2 sau đây, chúng tôi tiến hành thử nghiệm số với dữ liệu có nhiễu và dữ liệu chính xác. Chúng tơi xét hệ (2.9) với ma trận B được phân tách thành hai ma trận đối xứng, điều kiện xấu và xác định khơng âm Bi∈Rm×m, i =1,2. Gọi x∗∈Rm là một véctơ có tất cả phần tử đều là 1 và f =Bx∗. Hàm vế phải có nhiễu là fδ =Bx∗+η, trong đó các phần tử của η là các giá trị phân bố chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn được chọn sao
cho kηk ≤ δ. Để giải hệ (2.9) chúng tôi sử dụng cả hai phương pháp PIIRM
(2.5)-(2.6) và PEIRM (2.7), với véctơ khởi đầu x0 =0. Để đánh giá độ chính
xác của các phương pháp chúng tơi sử dụng sai số tương đối (REN) REN :=
kxn−x∗k/kx∗k. Một số ký hiệu sau được sử dụng trong phần này: nmax: Số bước lặp tối đa,
Tp: Thời gian thực hiện phương pháp song song theo đơn vị giây, Ts:Thời gian thực hiện phương pháp tuần tự theo đơn vị giây, Sp =Ts/Tp: Hệ số tăng tốc,
Ep= Tpp : Hiệu suất của phương pháp song song sử dụng pbộ xử lý, PIIRM: Phương pháp chỉnh lặp ẩn song song,
PEIRM: Phương pháp chỉnh lặp hiện song song.
Những hình vẽ và bảng dưới đây chỉ ra mối liên hệ giữa sai số tương đối của các phương pháp PEIRM và PIIRM với thời gian thực hiện cũng như hệ số tăng tốc và hiệu suất của các phương pháp.
Ví dụ 1.
Chúng tơi xét bài tốn (2.32) vớiN=2,[a,b]≡[0,1], M =100với các nhân K1(t,s) = 1 3+ t+s 2 +ts, K2(t,s) = s(1−t), s≤t, t(1−s), t ≤s.
Các tích phân trong ví dụ được tính gần đúng bằng phương pháp hình thang và các giá trịαn, γn và δ được chọn như sau:
Bảng 2.1: Sai số tương đối của PIIRM và PEIRM theo số bước lặpnmax REN of PIIRM REN of PEIRM Tp of PIIRM Tp of PEIRM nmax REN of PIIRM REN of PEIRM Tp of PIIRM Tp of PEIRM
5000 0.02980 0.03060 12 s 2 s
10000 0.02090 0.02170 26 s 3.5 s
15000 0.01880 0.01980 39 s 5.5 s
20000 0.01910 0.02020 54 s 7 s
25000 0.01980 0.02090 62 s 9 s
Hình 2.1: Sai số tương đối của phương pháp PIIRM và PEIRM.
Trong trường hợp dữ liệu có nhiễu, với cùng một số bước lặp, phương pháp PIIRM cho nghiệm xấp xỉ với sai số tương đối nhỏ hơn so với phương pháp PEIRM nhưng tổng thời gian thực hiện lại lớn hơn. Tuy nhiên khi số lượng các bước lặp đủ lớn, sai số tương đối không giảm mà sẽ tăng khi ta tiếp tục thực hiện cả hai phương pháp.
Bảng 2.2: Sai số tương đối của PIIRM và PEIRM theo số bước lặpnmax REN of PIIRM REN of PEIRM Tp of PIIRM Tp of PEIRMnmax REN of PIIRM REN of PEIRM Tp of PIIRM Tp of PEIRM nmax REN of PIIRM REN of PEIRM Tp of PIIRM Tp of PEIRM
5000 0.03250 0.03310 12 s 2 s
10000 0.02330 0.02370 26 s 3.5 s
15000 0.01850 0.01900 39 s 5.5 s
20000 0.01600 0.01660 54 s 7 s
25000 0.01467 0.01530 62 s 9 s
Hình 2.2: Sai số tương đối của PIIRM và PEIRM.
Trong trường hợp dữ liệu khơng có nhiễu, với cùng số bước lặp, phương pháp PIIRM cho nghiệm xấp xỉ với sai số tương đối nhỏ hơn phương pháp PEIRM, tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi thời gian thực hiện nhiều hơn.
Nhận xét 2.4. Các ví dụ số cho (2.32) đã được trình bày [7] sử dụng cơng thức chữ nhật tính gần đúng tích phân.
Ví dụ 2. Cho B= B1 B2 ,
Bi ∈Rm×m và m=100, trong đó B1 là ma trận Hilbert với kích thước 100×100
và B2 được xác định từ B1 bằng cách hốn vị dịng và cột đầu của ma trận cho dòng và cột cuối của ma trận tương ứng. Do b(1)i,j = i+1j−1, i, j = 1,2, . . . ,100
và B2 = PB1P, trong đó P= I−uuT, I là ma trận đơn vị, u= e1−e100 và e1 = (1,0, . . . ,0)T,e100= (0, . . . ,0,1)T.
Để so sánh, ta sử dụng phương pháp lặp Landweber (ký hiệu LW) xk+1=xk+αBT(y−Bxk),
trong đóα <2kBTBk−1.Bởi vì phương pháp lặp LW là phương pháp tuần tự nên chỉ một số tính tốn như nhân ma trận với véctơ hoặc tổng của các véctơ, vv... được song song hóa. Chúng tơi xét hai trường hợp
Trường hợp 1:αn=5×10−3(1+n)−0.4,γn=0.125×(3000+n)0.5,δ =10−3 vàα =
0.235đối với phương pháp LW.
Bảng 2.3: Sai số tương đối của PIIRM, PEIRM và LW theo số bước lặpnmax REN của PIIRM REN của PEIRM REN của LW nmax REN của PIIRM REN của PEIRM REN của LW
2000 0.02466 0.02466 0.07860 4000 0.01988 0.01987 0.07680 6000 0.01906 0.01906 0.06355 8000 0.01996 0.01996 0.05888 10000 0.02163 0.02163 0.05476 Trường hợp 2: αn =5×10−3(1+n)−0.4,γn=0.125×(3000+n)0.5,δ =0vàα = 0.235cho phương pháp LW.
Bảng 2.4: Sai số tương đối của PIIRM, PEIRM và LW theo số bước lặpnmax REN của PIIRM REN của PEIRM REN của LW nmax REN của PIIRM REN của PEIRM REN của LW
20000 0.01053 0.01053 0.04502
40000 0.00857 0.00857 0.03500
60000 0.00757 0.00757 0.03242
80000 0.00692 0.00692 0.03134
100000 0.00645 0.00645 0.03055
Trong cả hai trường hợp nhiễu và không nhiễu, phương pháp PIIRM và PEIRM có độ chính xác tốt hơn so với phương pháp lặp LW.
Bảng kết quả sau so sánh thời gian thực hiện của phương pháp song song PIIRM, PEIRM và phương pháp LW khi tiến hành giải phương trình (2.9) trong ví dụ 2 với số bước lặp tối đanmax=50000.
Bảng 2.5: Hệ số tăng tốc và Hiệu suất thực thi các phương pháp.
Số bộ xử lý PIIRM PEIRM LW
Tp Sp Ep Tp Sp Ep Tp Sp Ep
1 263 s —– —— 24 s —– —— 41 s —— ——-
2 135 s 1.95 0.975 13 s 1.86 0.93 24 s 1.708 0.854 4 113 s 2.33 0.582 11 s 2.48 0.535 20 s 2.05 0.512 Trong phần tiếp theo chúng tôi xem xét phương pháp chỉnh lặp hiện song song áp dụng cho bài tốn khơi phục ảnh.