1.5 Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và
1.5.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết
Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) được đề xuất bởi nhóm tác giả S. Takahashi và W. Takahashi [55] dựa trên kết quả của P.L. Combettes và S.A. Hirstoaga [21] về tính chất của ánh xạ nghiệm và phương pháp xấp xỉ cho bài toán điểm bất động của A. Moudafi [38].
Định lý 1.9 ([55]). Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho một song hàm f : C×C →R thỏa mãn (B1)−(B4) và S: C→C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S)∩Sol(C, f) ̸=∅. Cho g : H → H là một ánh xạ co, các dãy
{xn},{un} sinh bởi x1 ∈ H và
un ∈C sao cho f(un, y) + 1
rn⟨y−un, un −xn⟩ ≥0, ∀y ∈C, xn+1 =αng(xn) + (1−αn)Sun,
với mọi n ∈ N∗, trong đó {αn} ⊂ [0,1] và {rn} ⊂ (0,∞) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) lim n→∞αn = 0, ∞ ∑ n=1 αn =∞, ∞ ∑ n=1 |αn+1−αn|<∞;
(ii) lim inf
n→∞ rn >0,
∞
∑
n=1
|rn+1−rn|<∞.
Khi đó, {xn} và {un} hội tụ mạnh đến z ∈F ix(S)∩Sol(C, f), với
z =P rF ix(S)∩Sol(C,f)g(z).
Tiếp theo là hai hệ quả được suy ra trực tiếp từ định lý trên.
Hệ quả 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và S : C →C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S) ̸=∅. Cho g :H → H là một ánh xạ co và
{xn} là dãy sinh bởi x1 ∈ H và
xn+1 =αng(xn) + (1−αn)SP rC(xn),
với mọi n ∈N∗, trong đó {αn} ⊂[0,1] thỏa mãn điều kiện:
lim n→∞αn = 0, ∞ ∑ n=1 αn =∞, ∞ ∑ n=1 |αn+1−αn|<∞.
Khi đó, {xn} hội tụ mạnh tới z∈F ix(S), với z=P rF ix(S)g(z).
Hệ quả 1.3. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho một song hàm f :C×C →R thỏa mãn (B1)−(B4), sao cho Sol(C, f)̸=∅. Cho g :H → H
là một ánh xạ co và {xn},{un} là các dãy sinh bởi x1 ∈ H và
un ∈C sao cho f(un, y) + 1
rn⟨y−un, un −xn⟩ ≥0, ∀y ∈C, xn+1 =αng(xn) + (1−αn)un,
với mọi n ∈ N∗, trong đó {αn} ⊂ [0,1] và {rn} ⊂ (0,∞) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) lim n→∞αn = 0, ∞ ∑ n=1 αn =∞, ∞ ∑ n=1 |αn+1−αn|<∞;
(ii) lim inf
n→∞ rn >0,
∞
∑
n=1
|rn+1−rn|<∞.
Khi đó, {xn} và {un} hội tụ mạnh tới z ∈Sol(C, f), với z =P rSol(C,f)g(z).
Trong Định lý 1.9, việc đưa ánh xạ co g vào trong dãy lặp cùng với hệ số co cho trước, hệ số này gần như một tham số chính quy hóa để điều khiển sự hội tụ của dãy {xn}. Nhờ sự có mặt của ánh xạ co g mà dãy lặp {xn} đã hội tụ về nghiệm tối ưu cần tìm. Nếu khơng có sự tham gia của ánh xạ co g thì dãy lặp
{xn} sẽ chỉ hội tụ yếu về nghiệm tối ưu cần tìm như trong định lý sau.
Định lý 1.10 ([53]). Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho một song hàm f : C×C →R thỏa mãn (B1)−(B4) và S: C→C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(S)∩Sol(C, f)̸=∅. Cho các dãy {xn},{un} sinh bởi x1 ∈ H và
un ∈C sao cho f(un, y) + 1
rn⟨y−un, un −xn⟩ ≥0, ∀y ∈C, xn+1 =αnxn+ (1−αn)Sun,
với mọi n ∈ N∗, trong đó {αn} ⊂ [a, b] với a, b ∈ (0,1) và {rn} ⊂ (0,∞) thỏa mãn lim inf
n→∞ rn > 0. Khi đó, {xn} hội tụ yếu đến z ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f), với
z = lim
n→∞P rF ix(S)∩Sol(C,f)(x
W. Takahashi [53] đã cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết bằng cách bỏ qua ánh xạ co g khi xây dựng dãy lặp. Thay vào đó, tác giả chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên giao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũng thu được sự hội tụ mạnh của thuật tốn. Khi đó, kỹ thuật chứng minh cũng đơn giản hơn khá nhiều. Điều này được thể hiện ở phương pháp chiếu mà chúng tôi giới thiệu ở mục tiếp theo đây.