Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRONG
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Trong mục này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ bản của không gian xác suất, phần tử ngẫu nhiên, q trình ngẫu nhiên trong một khơng gian Banach tách được X. Ta ln kí hiệu B(X) là σ-đại số Borel trên X, tức là
σ-trường được sinh ra bởi các tập mở của X.
Định nghĩa 1.1. Xét (Ω,F,P) là không gian xác suất với không gian mẫu
Ω, σ-trường F và độ đo xác suất Plà một σ-hàm cộng tính từF → [0,1]. Đặt
N ={A: A⊂Ω,∃N ⊂ F,P(N) = 0 và A⊂ N}
là tập hợp các tập có xác suất 0. Không gian xác suất(Ω,F,P)được gọi là đủ nếu N ⊂ F. Kí hiệu {Ft}t≥0 là một họ các σ-trường khơng giảm của F, tức là
Ft được gọi là liên tục phải nếu Ft = ∩s>tFs với mọi t∈[0,+∞).
Trong luận án này, không gian xác suất (Ω,F,P) luôn được giả thiết là đủ và Ft là liên tục phải.
Định nghĩa 1.2 (Phần tử ngẫu nhiên). Một phần tử ngẫu nhiên trong X là một ánh xạ u: Ω → X đo được Borel, tức là
u−1(A)∈ F, với mọi A∈ B(X).
Nhận xét 1.1. Giả sử u : Ω → X là một phần tử ngẫu nhiên trong khơng gian Banach tách được X. Khi đó ánh xạ chuẩn ∥ · ∥ : Ω→ R, ω 7→ ∥u(ω)∥ là đo được.
Định nghĩa 1.3 (Quá trình ngẫu nhiên). (i) Với mỗi t ∈ [0, T], ánh xạ
u(t) : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong X. Khi đó, họ u =
{u(t), t∈[0, T]} được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong X. (ii) Nếu với mỗi t ∈[0, T], phần tử ngẫu nhiên u(t) là Ft-đo được, thì u được gọi là tương thích.
(iii) Q trình ngẫu nhiên u được gọi là đo được liên tục (progressively mea- surable) nếu với mọi t ∈[0, T], ánh xạ
[0, t]×Ω→ X, (s, ω)7→ u(s, ω)
là B([0, t])× Ft-đo được, tức là, với mọi tập Borel B ∈ B(X),
{(s, ω)∈[0, t]×Ω|u(s, ω)∈B} ∈ B([0, t])× Ft.
Định nghĩa 1.4 (Thời điểm dừng). Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [0,∞] (có thể nhận giá trị ∞) được gọi là thời điểm dừng nếu {ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft với mọi t≥ 0 và P(τ < ∞) = 1.
Xét u(t) là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong X với
sup
t∈[0,T]
∥u(t)∥2
Với mỗi M > 0, ta xét thời điểm dừng τM =
T nếusupt∈[0,T]∥u(t)∥2
X ≤M,
inf{t∈ [0, T] : supt∈[0,T]∥u(t)∥2
X ≥ M} trong trường hợp cịn lại. Khi đó, ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.2. [19] Với τM được định nghĩa như trên, ta có
lim
M→∞P(τM < T) = 0, và lim
M→∞τM = T, với ω ∈ Ω,P−hầu chắc chắn.