phân đại số và ph−ơng trình sai phân ẩn
Để tiện theo dõi, chúng ta nhắc lại khái niệm chỉ số 1 của ph−ơng trình vi phân đại số. Theo Griepentrog và M..arz (xem [21] hoặc Định nghĩa 1.5 trang 22)
ph−ơng trình vi phân đại số (1.2) đ−ợc gọi là có chỉ số 1 nếu hai điều kiện sau thoả mãn
(i) Tồn tại phép chiếu trơn Q ∈ C1(J,Rmìm) lên kerA(t), tức là Q2(t) = Q(t)
và ImQ(t) =kerA(t) với mọi t∈J.
Ta biết rằng khái niệm chỉ số 1 của ph−ơng trình (1.2) khơng phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu trơn Q(t) lên không gian kerA(t). Ngoài ra, từ điều kiện (i) của định nghĩa trên suy ra các ma trận A(t) có hạng khơng thay đổi trên J.
Tr−ớc hết, ta cần kết quả sau.
Bổ đề 3.1. Giả sử ph−ơng trình vi phân đại số(1.2) có chỉ số 1, Q∈C1(J,Rmìm)
là một phép chiếu trơn bất kỳ lên kerA(t). Khi đó, với mỗi t ∈ J và τ > 0 đủ nhỏ thì các ma trận G(t,e τ) := A(t)−τB(t)Q(t) và H(t,τ) := A(t)−τ(B(t)− A(t)P0(t))Q(t), ở đây P(t) :=I −Q(t) đều khả nghịch. Hơn nữa, ta có các −ớc
l−ợng
kGe−1(t,τ)k6 c1τ, (3.1) kH−1(t,τ)k6 c2
τ , (3.2)
trong đó c1, c2 là các hằng số d−ơng.
Chứng minh. Do ph−ơng trình (1.2) có chỉ số 1 nên theo định nghĩa, ma trận
G(t) :=A(t) +B(t)Q(t) không suy biến với mọi t ∈J. Chú ý rằng e G(t,τ) =A(t) +B(t)Q(t)−(1 +τ)B(t)Q(t) =G(t)−(1 +τ)B(t)Q(t) =G(t)(I−(1 +τ)G−1(t)B(t)Q(t)). Mặt khác, ta cóG−1(t)B(t)Q(t) =Q(t)(xem [21]). Vì vậy ta nhận đ−ợc G(t,e τ) = G(t)(P(t)−τQ(t)). Dễ thấy (P(t)−τQ(t))−1 =P(t)− 1τQ(t) = 1 τ(τP(t)−Q(t), từ đó suy ra e G−1(t,τ) = (P(t)−τQ(t))−1G−1(t) = 1 τ(τP(t)−Q(t))G−1(t). Để ý là A, B, P, Q ∈ C(J,Rmìm) nên từ đẳng thức trên ta nhận đ−ợc −ớc l−ợng (3.1) cần chứng minh.
Từ G(t,e τ)P(t) = (A(t)−τB(t)Q(t))P(t) =A(t)P(t) =A(t) (xem [21]) và kết
e
G(t,τ)(I+τP(t)P0(t)Q(t)). Hơn nữa, ta có
(I+τP(t)P0(t)Q(t))−1 =I−τP(t)P0(t)Q(t),
từ đó ta nhận đ−ợc H(t,τ) khả nghịch và
H−1(t,τ) = (I−τP(t)P0(t)Q(t))Ge−1(t,τ).
Kết hợp hệ thức cuối với bất đẳng thức (3.1) ta thu đ−ợc −ớc l−ợng (3.2). Bổ đề đã đ−ợc chứng minh.
Nh− đã nhận xét ở trên, nếu ph−ơng trình (1.2) có chỉ số 1 thì các ma trận
A(t) có hạng khơng thay đổi trên đoạn J. Vì vậy từ nay về sau, chúng ta giả thiết ma trận A(t) có hạng hằng (rankA(t)≡r, 0< r < m) và có khai triển kì dị
A(t) =U(t)Σ(t)VT(t), (3.3)
trong đó U ∈C(J,Rmìm), V ∈C1(J,Rmìm) là các ma trận trực giao, tức là
U(t)TU(t) =U(t)UT(t) =VT(t)V(t) = V(t)VT(t) = I, ∀t∈J;
Σ∈C(J,Rmìm)là ma trận đ−ờng chéo với các giá trị kì dịσ1(t)≥ã ã ã≥σr(t)>0
nằm trên đ−ờng chéo chính. Chú ý rằng nếu A∈C1(J,Rmìm) thì ta có khai triển kì dị (3.3) với ma trậnV(t)trơn. Điều này suy ra từ những kết quả t−ơng ứng về phổ và véc tơ riêng của ma trận Hermit AT(t)A(t) (xem [25]). Tuy nhiên phân tích (3.3) vẫn có thể đúng cho tr−ờng hợp ma trận A(t) khơng trơn. Chẳng hạn, nếu
A(t) =diag(σ1(t), . . . ,σr(t),0, . . . ,0),
ở đây σi ∈C(J,R) (i= 1, r) thì chúng ta có thể chọn V(t) = I.
Kí hiệu Q(t) = V(t)Q∗VT(t), trong đó Q∗ := diag(Or, Im−r). Khi đó Q(t)
là một phép chiếu trơn lên kerA(t). Với N là số nguyên d−ơng cho tr−ớc ta đặt τ = T−t0
N là b−ớc l−ới của phép phân hoạch đều đoạn J thành N đoạn con
[tn, tn+1], n = 0, N −1, ở đây tn = t0 +nτ, n = 0, N. Đặt An = A(tn), Bn = B(tn), qn = q(tn), Qn = Q(tn) và Vn = V(tn), Un = U(tn) (n= 0, N), V−1 =V0.
Khi đó ta nhận đ−ợc
Bây giờ áp dụng l−ợc đồ Euler hiện cho ph−ơng trình vi phân đại số chỉ số 1 (1.2), ta thu đ−ợc Anxn+1−xn τ +Bnxn=qn, n= 0, N −1, (3.4) hay Anxn+1 = (An−τBn)xn+τqn, (n= 0, N −1). (3.5) Do rankA(t)≡ r (0< r < m) nên các ma trận An (n= 0, N −1) là các ma trận suy biến và rankAn ≡ r, tức là (3.5) là ph−ơng trình sai phân ẩn. Định lý sau
khẳng định (3.5) là ph−ơng trình sai phân ẩn chỉ số 1.
Trong ch−ơng này, từ đây trở đi, khi xét τ nếu khơng có giải thích gì thêm thì ta hiểu τ là d−ơng và đủ nhỏ.
Định lý 3.1. Ph−ơng pháp Euler hiện áp dụng cho ph−ơng trình vi phân đại số chỉ số 1 cho ph−ơng trình sai phân ẩn cũng có chỉ số 1.
Chứng minh. Xét ph−ơng trình vi phân đại số (1.2) có chỉ số 1. Rời rạc ph−ơng trình này theo ph−ơng pháp Euler hiện, ta nhận đ−ợc ph−ơng trình sai phân ẩn (3.5). Chúng ta sẽ chứng minh (3.5) có chỉ số 1. Vì (1.2) có chỉ số 1 nên rankA(t) ≡ r, từ đó ta suy ra các ma trận suy biến An (n = 0, N −1) cũng có hạng khơng đổi là r. Vậy để khẳng định (3.5) là ph−ơng trình sai phân ẩn chỉ
số 1 ta cần chứng tỏ các ma trậnGn(τ) :=An+ (An−τBn)Vn−1Q∗VT
n khả nghịch với mọi n= 0, N −1. Theo Bổ đề 3.1, ta có các ma trận Gn(τ) :=An−τBnQn= An−τBnVnQ∗VT
n, n = 0, N −1 không suy biến. Do AnVnQ∗VT
n =O, ta có thể
biểu diễn các ma trận Gn(τ) d−ới dạng
Gn(τ) =An−τBnVnQ∗VnT +τBn(Vn−Vn−1)Q∗VnT +An(Vn−1−Vn)Q∗VnT =Gn(τ)(I+τG−n1(τ)Bn(Vn−Vn−1)Q∗VnT +G−n1(τ)An(Vn−1−Vn)Q∗VnT).
Do V ∈ C1(J,Rmìm) và Vn = V(tn) nên kVn − Vn−1k = O(τ). Hơn nữa, từ Gn(τ)Pn= (An−τBnQn)Pn =AnPn =An, suy ra G−1
n (τ)An =Pn. Vậy ta có kτG−1 n (τ)Bn(Vn−Vn−1)Q∗VT n +G−1 n (τ)An(Vn−1−Vn)Q∗VT nk =k(τG−1 n (τ)Bn−Pn)(Vn−Vn−1)Q∗VT nk
6(τkG−1 n (τ)kkBnk+kPnk)O(τ)kQ∗kkVT n k. áp dụng kết quả của Bổ đề 3.1, ta có kG−1 n (τ)k6 c1 τ. Vì vậy kτG−1 n (τ)Bn(Vn−Vn−1)Q∗VT n +G−1 n (τ)An(Vn−1−Vn)Q∗VT nk 6(c1kBnk+kPnk)kQ∗kkVT n kO(τ) = (c1kBnk+ 1)O(τ)6c3τ,
ở đây c3 là một hằng số d−ơng. Từ −ớc l−ợng này ta suy ra với b−ớc l−ới τ đủ nhỏ thì ma trận
I+τG−n1(τ)Bn(Vn−Vn−1)Q∗VnT +G−n1(τ)An(Vn−1−Vn)Q∗VnT
khả nghịch, và do đó ma trận Gn(τ) khả nghịch với mọi n= 0, N −1. Định lý
đã đ−ợc chứng minh.
Nhận xét 3.1. Nh−đã biết, ngoài ph−ơng pháp Euler hiện, hay còn gọi là ph−ơng pháp sai phân tiến, ng−ời ta th−ờng sử dụng ph−ơng pháp Euler ẩn, tức là ph−ơng pháp sai phân lùi và ph−ơng pháp sai phân trung tâm.
áp dụng ph−ơng pháp Euler ẩn cho ph−ơng trình (1.2), ta nhận đ−ợc Anxn−xn−1
τ +Bnxn =qn, 16n6N,
hay
(An+τBn)xn=Anxn−1+τqn, n= 1, N . (3.6)
Theo Griepentrog và Marz nếu (1.2) có chỉ số 1 thì cặp ma trận.. {A(t), B(t)} là chính qui với mỗi t ∈J. Điều này dẫn đến ma trận An+τBn = A(tn) +τB(tn)
không suy biến khi b−ớc l−ới τ đủ nhỏ. Vậy (3.6) là ph−ơng trình sai phân th−ờng.
áp dụng ph−ơng pháp sai phân trung tâm cho ph−ơng trình vi phân đại số
(1.2), ta có
Anxn+1−xn−1
2τ +Bnxn=qn, n= 1, N −1,
hay
Ph−ơng trình sai phân (3.7) là ph−ơng trình sai phân ẩn cấp hai vì các ma trận
An, n = 1, N−1, đều suy biến. Trong tr−ờng hợp này bằng phép đổi biến yn := (xT n, xT n−1)T ∈R2m ta đ−a (3.7) về dạng sau An O O I yn+1 = −2τBn An I O yn+ 2τqn 0 , n= 1, N −1. (3.8)
T−ơng tự nh− đã thực hiện với (3.5), ta có thể chứng minh đ−ợc (3.8) cũng là ph−ơng trình sai phân ẩn chỉ số 1. Vì mục đích của ch−ơng này là tìm sự liên hệ giữa ph−ơng trình sai phân ẩn và ph−ơng trình vi phân đại số, nên chúng ta sẽ chỉ đề cập đến ph−ơng pháp Euler hiện.