Trong phần này, chúng tơi trình bày một ví dụ số minh họa cho Định lý 2.1. Xét H1 =R3 với chuẩnkxk= (x12+x22+x23)21 với x = (x1, x2, x3)T ∈R3 và H2 =R2 với chuẩnkyk= (y12+y22)12 với y = (y1, y2)T ∈R2.
Xét A :R3 −→R2 cho bởi
A(x) = (x1+x3, x2+x3)T
với mọi x= (x1, x2, x3)T ∈ R3.
Khi đó A là tốn tử tuyến tính bị chặn từ R4 vào R2 với chuẩn kAk=√ 3. Xét B : R2 −→R3 cho bởi
B(y) = (y1, y2, y1+y2)T
với mọi y = (y1, y2)T ∈ R2.
Khi đó B là tốn tử tuyến tính bị chặn từ R2 vào R3 với kBk=√ 3.
Với mọi x = (x1, x2, x3)T ∈ R4 và y = (y1, y2)T ∈R2, ta có
hA(x), yi= hx, B(y)i.
Do đó B =A∗ là tốn tử liên hợp của A.
Xét
C ={(x1, x2, x3)T ∈R3 : x1+x2−x3 ≥ 1} và xét ánh xạT :C −→C cho bởi công thức
T(x) = x nếu x1+x2−x3 = 1, 1+2x1−x2+x3 3 ,1−x1+2x2+x33 ,−1+x1+x2+2x33 T nếu x1+x2−x3 >1, Ta thấy T(x) = PK1(x) với mọi x ∈ C trong đó K1 là mặt phẳng cho bởi K1 = {(x1, x2, x3)T ∈ R4 : x1+x2−x3 = 1}. Vì tốn tử chiếu là ánh xạ không giãn nên
T là ánh xạ khơng giãn. Ngồi ra, dễ thấy tập điểm bất động của T cho bởi Fix(T) ={(x1, x2, x3)T ∈R3 :x1+x2−x3 = 1}. Đặt Q ={(y1, y2)T ∈ R2 : y1−y2 ≥4} và xét ánh xạS :Q −→ Q cho bởi S(y) = y nếu y1−y2 = 4, y1+y2+ 4 2 , y1+y2−4 2 T nếu y1−y2 > 4, với mọi y = (y1, y2)T ∈ R2.
Ta thấy S(y) = PK2(y) với mọi y ∈ Q trong đó K2 là mặt phẳng cho bởi K2 = {(y1, y2)T ∈R2 : y1−y2 = 4}. Do đó S là ánh xạ không giãn và tập điểm bất động củaS cho bởi
Fix(S) ={(y1, y2)T ∈R2 :y1−y2 = 4}. Tập nghiệm Ω của bài toán điểm bất động tách
Ω ={(x1, x2, x3)T ∈ Fix(T) :A(x1, x2, x3)∈ Fix(S)}
={(x1, x2, x3)T ∈ R3 : x1+x2−x3 = 1,(x1+x3)−(x2+x3) = 4} ={(x1, x2, x3)T ∈ R3 : x1+x2−x3 = 1, x1−x2 = 4}
Giả sử x= (t+ 4, t,2t+ 3)T ∈ Ω, khi đó kxk=p(t+ 4)2+t2+ (2t+ 3)2 = r 2 3(3t+ 5) 2+ 25 3 ≥ r 25 3 .
Do đó nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán điểm bất động tách là x∗ = 7 3, −5 3 ,−1 3 T . Chọn x0 = (4,3,−6)T ∈C bất kỳ, λk = 1 k+ 2, δ = 0.2, αk = k+ 1 2(k+ 3).
Khi đó{λk} và {αk}là hai dãy số trong khoảng (0,1) thỏa mãn đồng thời các điều kiện lim k−→∞λk = 0, ∞ X k=0 λk(1−αk) =∞ và lim k−→∞αk = 1 2 ∈ (0,1).
Ta có kết quả tính tốn ở bảng 2.1 với tiêu chuẩn dừng là kxk+1−xkk< ε= 10−6.
Bảng 2.1: Ví dụ số minh họa cho Định lý 2.1 Số bước lặp k xk1 xk2 xk3 0 4.00000 3.00000 −6.00000 1 0.93056 0.09722 −1.97222 2 0.60625 −0.33542 −1.22917 3 0.63155 −0.46645 −0.98490 4 0.71990 −0.54125 −0.87135 · · · · · · · · · · · · 7390 2.32615 −1.67115 −0.34500 7391 2.32615 −1.67115 −0.34500 7392 2.32615 −1.67115 −0.34500 7393 2.32615 −1.67115 −0.34500 7394 2.32615 −1.67115 −0.34500
Nghiệm xấp xỉ sau 7394 bước lặp x7394 = (2.32615,−1.67115,−0.34500)T là một xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ nhất x∗ =7
3, −5 3 ,−1 3 T của SFPP.
Kết luận chương
Trong chương này, chúng tơi đã trình bày thuật tốn giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách. Bằng cách sử dụng phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân và kỹ thuật lặp Krasnoselskii-Mann để tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn, chúng tơi thu được thuật tốn giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách. Từ định lý hội tụ, chúng tôi nhận được các hệ quả là các thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc lần lượt là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách và tập nghiệm của bài toán cân bằng tách. Kết quả mới đạt được trong Chương 2 là đề xuất thuật toán đầu tiên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách của các ánh xạ khơng giãn. Về sau, bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách đã được một số các tác giả khác (xem [13]) nghiên cứu cho trường hợp một họ hữu hạn các ánh xạ tựa không giãn.
Chương 3
Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách và bài toán chấp nhận
tách đa tập hợp
Trong phần đầu chương, chúng tơi trình bày thuật tốn giải bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân). Mục tiếp theo là thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách). Ở phần cuối chương, chúng tơi đề xuất thuật tốn giải bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập hợp. Các kết quả của chương này được viết trên cơ sở các kết quả của các bài báo [2, 3, 5] trong danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H và hai ánh xạ F : H −→ H, G : H −→ H, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (BVIP - Bilevel Variational Inequality Problem)
Tìm x∗ ∈Sol(C, G) sao cho hF(x∗), y−x∗i ≥0 ∀y ∈Sol(C, G), (BV IP)
trong đó
Sol(C, G) ={y∗ ∈C : hG(y∗), z −y∗i ≥0 ∀z ∈ C}
là tập nghiệm của V IP(C, G).
Trong những năm gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học (xem [4,22,52]). KhiGlà ánh
xạ khơng thì tập nghiệm Sol(C, G) của V IP(C, G) chính là C và do đó BVIP trở thành V IP(C, F). Trong trường hợp F là ánh xạ đồng nhất thì BVIP trở thành bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất củaV IP(C, G).
Năm 1976, khi nghiên cứu bài toán điểm yên ngựa, G.M. Korpelevich (xem [35]) đã đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường (chiếu hai lần lên tập ràng buộc C).
Tuy nhiên, vì phương pháp đạo hàm tăng cường đòi hỏi chiếu hai lần trên C nên ảnh hưởng đến sự hiệu quả của thuật toán. Năm 2011, Yair Censor cùng với các đồng nghiệp (xem [18]) đã đề xuất thay toán tử chiếu lần thứ hai trên C bằng toán tử chiếu trên nửa không gian chứa C. Phương pháp này được gọi là phương pháp
dưới đạo hàm tăng cường và có thể được mơ tả như sau: Xuất phát từ điểm x0 ∈ H, với mọi k ≥ 0, ta xác định
yk = PC(xk −τ F(xk)), Tk ={ω∈ H :hxk −τ F(xk)−yk, ω−yki ≤0}, xk+1 =PTk(xk −τ F(yk)),
Khi đó nếu F : H −→ H là đơn điệu trên C, L-liên tục Lipschitz trên H và
τ ∈ 0, 1
L
thì cả hai dãy {xk} và {yk} hội tụ yếu đến nghiệm x∗ củaV IP(C, F). Với ý tưởng trên của Yair Censor và các đồng nghiệp, chúng ta sử dụng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường để giải BVIP. Ta xét các ánh xạ F, G : H −→ H thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(A1): F là β-đơn điệu mạnh trên H và L-liên tục Lipschitz trên H. (A2): G giả đơn điệu trên C và γ-liên tục Lipschitz trên H.
(A3): lim sup
k−→∞
hG(xk), y− yki ≤ hG(x), y −yi với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk}, {yk} nằm trong H hội tụ yếu lần lượt đến x, y ∈ H.