3 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN
3.2 Sóng Rayleigh trong bán khơng gian đàn hồi, khơng nén
đàn hồi, khơng nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng
3.2.1 Các phương trình cơ bản
Xét vật thể đàn hồi đẳng hướng không nén được ở trạng thái tự nhiên (chưa biến dạng) chiếm miền X2 ≥ 0. Giả sử vật thể chịu biến dạng ban
đầu thuần nhất
x1 = λ1X1, x2 = λ2X2, x3 = λ3X3 (3.32)
trong đó, λ1, λ2, λ3 là các độ giãn chính của biến dạng và là các hằng số dương.
Hình 3.2: Trạng thái vật thể đàn hồi, khơng nén được có ứng suất trước chịu kéo nén thuần túy
Trong mặt phẳng (x1, x2), ta xét một chuyển động nhiễu vô cùng bé
được bổ sung vào các biến dạng trước (hữu hạn) với các thành phần nhiễu chuyển dịch không phụ thuộc vào x3 như sau
uj = uj(x1, x2, t), j = 1,2, u3 ≡ 0 (3.33)
Phương trình chuyển động bỏ qua lực khối có dạng (xem [47]):
s11,1 +s21,2 = ău1 s12,1 +s22,2 = ău2
(3.34)
trong đó, ρ là mật độ khối lượng, dấu 0,0 chỉ đạo hàm theo biến không gian xk, dấu "." chỉ đạo hàm theo biến thời gian t còn sij là các thành phần của tenxơ nhiễu ứng suất được xác định bởi công thức sau
sji = Bjilkuk,l +puj,i −p∗δji (3.35) trong đó, Bijkl là các thành phần của tenxơ đàn hồi bậc bốn được xác định như sau Biijj = λiλj ∂ 2W ∂λiλj Bijij = λi∂W ∂λi −λj∂W ∂λj λ2i λ2i −λ2j (i 6= j, λi 6= λj) 1 2 Biiii−Bjjjj +λi∂W ∂λi (i 6= j, λi = λj)
Bijji = Bjiij = Bijij −λi∂W
∂λi (i 6= j)
(3.36)
ở đây, i, j ∈ 1,2,3 và W = W(λ1, λ2, λ3) là hàm năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích ở trạng thái tự nhiên (không biến dạng). Chú ý rằng, λ1λ2λ3 = 1 và λk > 0. Khi khơng có ứng suất trước, hệ (3.36) có
dạng đơn giản sau
Biiii = Bijij = µ(i 6= j) Biijj = Bijji = 0(i 6= j)
(3.37)
với µ(> 0) là các hằng số Lame. Còn p là áp lực thủy tĩnh trong trạng thái ban đầu (trạng thái biến dạng ban đầu) và p được xác định theo liên hệ sau
σi = λi∂W
∂λi −p (3.38)
với σi là thành phần ứng suất Cauchy theo hướng chính. Và p∗ =
Từ phương trình (3.38) và (3.36), phương trình (3.35) được viết lại thành s11 = −p∗ + (B1111 +B2121−B2112−σ2)u1,1 +B1122u2,2 s22 = −p∗ +B1122u1,1 + (B2222+B2121−B2112 −σ2)u2,2 s12 = B1212u2,1 + (B2121 −σ2)u1,2 s21 = (B2121−σ2)u2,1 +B2121u1,2 (3.39)
Ta có điều kiện khơng nén được như sau
u1,1 +u2,2 = 0 (3.40) Từ hệ phương trình (3.39) và có kể đến phương trình (3.40), hệ phương trình (3.34) được viết lại như sau
B1111u1,11+B2121u1,22+ (B1122+B2112)u2,12−p∗,1 = ău1
(B1122+B2112)u1,12+B1212u2,11+B2222u2,22−p∗,2 = ρău2
(3.41)
Giả sử trên mặt biên x2 = 0 thỏa mãn điều kiện biên trở kháng [29, 38]
s21+ ωZ1u1 = 0, s22+ωZ2u2 = 0 tại x2 = 0 (3.42) với ω = kc là tần số góc của sóng, Zk(∈ R), k = 1,2 là các tham số trở kháng có thứ nguyên (đơn vị) là lực/vận tốc (xem [38]).
Mặt khác, bán không gian thỏa mãn điều kiện tắt dần ở vơ cùng của sóng. Tức là
uj = s2j = 0(j = 1,2) khi x2 →+∞ (3.43) 3.2.2 Phương trình tán sắc
Xét sóng Rayleigh có vận tốc c(> 0) và số sóng k(> 0) truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2. Theo các tác giả Ogden và Vinh
[48], thành phần chuyển dịch của sóng thỏa mãn phương trình (3.41), (3.40) và điều kiện tắt dần ở vơ cùng (3.43) có dạng
u1 = −k(b1B1e−kb1x2 +b2B2e−kb2x2)eik(x1−ct)
u2 = −ik(B1e−kb1x2 +B2e−kb2x2)eik(x1−ct)
trong đó,B1, B2 là các hằng số được xác định từ điều kiện biên trở kháng (3.42), b1, b2 là nghiệm của phương trình đặc trưng
γb4 −(2β −X)b2 + (α −X) = 0 (3.45) với
α = B1212, γ = B2121,2β = B1111+ B2222−2B1122−2B1221, X = ρc2
(3.46) Chú ý rằng, từ điều kiện elliptíc mạnh, α, β và γ phải thỏa mãn điều kiện
α > 0, γ > 0, β > −√αγ (3.47)
Mặt khác, do sóng Rayleigh phải thỏa mãn điều kiện tắt dần ở vô cùng nên b1, b2 là các nghiệm có phần thực dương. Từ phương trình (3.45) ta suy ra b21 +b22 = 2β −X γ := S b21.b22 = α−X γ := P (3.48)
Dễ dàng chứng minh được rằng để sóng Rayleigh tồn tại (b1, b2 có phần thực dương) thì X phải thỏa mãn điều kiện
0 < X < α (3.49) Từ phương trình (3.48) ta có b1.b2 = √ P , b1 + b2 = q S + 2√ P (3.50)
Kết hợp phương trình (3.39)2 và phương trình (3.41)1 ta suy ra
s22,1 = (B1122−B1111)u1,11−γu1,22+ρău1+(B2222−B1122−2B2112+γ−σ2)u2,12
(3.51) Sử dụng phương trình (3.39)4 và (3.51) với biểu thức dạng nghiệm của u1, u2 được lấy ở phương trình (3.44), ta có
s21 = k2[(γ −σ2 + γb21)B1e−kb1x2 + (γ −σ2 + γb22)B2e−kb2x2]eik(x1−ct)
s22,1 = k3{[−(2β+ γ −σ2 −X)b1 +γb31]B1e−kb1x2
+ [−(2β +γ −σ2 −X)b2 +γb32]B2e−kb2x2}eik(x1−ct)
Từ điều kiện biên trở kháng (3.42) ta suy ra
s21 +ωZ1u1 = 0, s22,1 +ωZ2u2,1 = 0 tại x2 = 0 (3.53) Khi đó, thay biểu thức xác định s21, s22 ở phương trình (3.52) và
u1, u2 ở phương trình (3.44) vào điều kiện biên trở kháng (3.53) ta có
(γ −σ2 +γb21 −δ1pγXb1)B1 + (γ −σ2 +γb22 −δ1pγXb2)B2 = 0 [δ2pγX −(2β +γ −σ2 −X)b1 +γb31]B1 + [δ2pγX −(2β +γ −σ2 −X)b2 + γb32]B2 = 0 (3.54) trong đó, δn = Zn/√ ρα(∈ R), n = 1,2 là các tham số trở kháng và là các đại lượng không thứ nguyên.
Do B12+B22 6= 0 nên định thức của ma trận các hệ số của hệ phương trình (3.54) phải bằng khơng. Tức là
[δ1δ2γX −(γ −σ2)(2β +γ −σ2 −X)] +γ(2β + 2γ −2σ2 −X)b1b2
+γ2b21b22 + γ(γ −σ2)(b21 +b22)−γpγX(δ1b1b2 + δ2)(b1 + b2) = 0
(3.55) Chú ý rằng, phương trình (3.55) đã được bỏ đi nhân tử chung (b2 −b1).
Thay (3.48) và (3.50) vào phương trình (3.55) ta được
[δ1δ2γX −γ∗2 +γ(α −X)] + (2β + 2γ−2σ2 −X)pγ(α−X) −(δ1pγ(α−X) +δ2γ)pγX q S + 2√ P = 0 (3.56)
trong đó, γ∗ = γ − σ2 và S, P được xác định ở (3.48). Phương trình (3.56) là phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi khơng nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng (3.42).
Chia cả hai vế của phương trình (3.56) cho α2 ta có
[δ1δ2e1x−e23 +e1(1−X)] +√ e1(2e2 + 2e3 −x)√ 1−x −(δ1√ e1√ 1−x+δ2e1)√ x q S + 2 √ P = 0 (3.57)
với e1 = γ α, e2 = β α, e3 = γ∗ α, S = 2e2 −x e1 , P = 1−x e1 (3.58)
Phương trình (3.57) là phương trình tán sắc dạng hiện (dạng khơng thứ ngun) của sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi khơng nén được có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng (3.42).
3.2.3 Các trường hợp đặc biệt
- Trường hợp bán khơng gian đàn hồi khơng nén được có ứng suất trước tự do đối với ứng suất
Xét sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi khơng nén được có ứng suất trước tự do đối với ứng suất tại mặt biên (không chịu điêu kiện biên trở kháng), tức là δ1 = δ2 = 0. Khi đó, phương trình
(3.56) dẫn về phương trình sau
γ(α−X) + (2β + 2γ −2σ2 −X)pγ(α−X) =γ∗2 (3.59) Đây là phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng, khơng nén được có ứng suất trước mà trên mặt biên tự do đối với ứng suất. Kết quả này hoàn toàn trùng với phương trình tán sắc (5.17) trong [24] và phương trình tán sắc (21) trong [84].
Thay δ1 = δ2 = 0 vào phương trình (3.57) ta có
e1(1−x) +√
e−1(2e2 + 2e3 −x)√
1−x = e23 (3.60) Phương trình (3.60) là phương trình tán sắc (dạng khơng thứ ngun) dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng, khơng nén được có ứng suất trước mà trên mặt biên tự do đối với ứng suất. Kết quả này trùng với phương trình tán sắc (26) trong [84] - Trường hợp sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng, không nén được, không chịu ứng suất trước, chịu điều kiện biên trở kháng
Khi đó ta có
α = γ = β = µ, σ2 = 0 (3.61) với µ là các hằng số Lame. Khi đó, dễ dàng suy ra được
Thay phương trình (3.62) vào phương trình (3.57) ta có (δ1δ2 −1)x+ (4−x)√ 1−x−(δ1√ 1−x+ δ2)√ x(1 +√ 1−x) = 0 (3.63) Kết quả ở phương trình (3.63) trùng với kết quả tìm được trong bài báo [91] (xem phương trình (25)).