vi quản lý hoành độ của chúng đúng bằng phạm vi truy vấn (xem lại nguyên lý truy vấn 1 chiều). Trong những nút vừa tìm được, ta lại dùng khoảng [ ] truy vấn trên cấu trúc thứ cấp để đếm số lượng điểm. Thời gian thực hiện giải thuật cho mỗi truy vấn là ( ) nếu cấu trúc sơ cấp và thứ cấp là cây BST tự cân bằng, có chiều cao ( ).
3.2. Trường hợp nhiều chiều
Tương tự như trường hợp hai chiều, ta có thể mở rộng cho trường hợp chiều bằng cấu trúc dữ liệu đệ quy:
Nếu , đơn thuần đây là cây quản lý phạm vi một chiều ta đã trình bày trong mục 2.
Nếu 2, lấy một trục tọa độ làm trục chính, gọi là trục , xây dựng cấu trúc sơ cấp là cây tìm kiếm nhị phân của các điểm với khóa tìm kiếm là tọa độ . Mỗi nút của cấu trúc sơ cấp chứa tập các điểm nằm trong nhánh cây đó, gốc đó. Ta gọi ( ) là tập các điểm nằm trong nhánh cây gốc . Cấu trúc thứ cấp ( ), là một cây quản lý phạm vi chiều của các điểm nằm trong ( ).
Trong trường hợp sử dụng các dạng cây nhị phân tìm kiếm tự cân bằng, chi phí bộ nhớ cho cây quản lý phạm vi chiều là ( ). Mỗi phép cập nhật, bổ sung, loại bỏ điểm mất thời gian ( )
Chú ý là trong trường hợp một chiều, ta có thể sử dụng cây splay biểu diễn danh sách vì lý do cài đặt đơn giản. Tuy nhiên cây splay sẽ thể hiện nhược điểm với số chiều lớn hơn. Mặc dù thời gian thực hiện một dãy phép biến đổi chèn/xóa trên cây splay được đảm bảo ở giới hạn thời gian (( ) ), việc truy cập (access) tuần tự các nút sẽ khiến cho cây splay suy biến và có chiều cao . Vấn đề này khiến cho mỗi điểm có thể có mặt trong cấu trúc thứ cấp và làm gia tăng lượng bộ nhớ cần huy động lên ( ). Chính vì vậy khi cài đặt cây quản lý phạm vi nhiều chiều và không có cách nào sử dụng cấu trúc tĩnh như cây quản lý đoạn hay cây chỉ số nhị phân, người ta thường dùng Treaps, cây đỏ đen, hoặc cây AVL để thay thế cho cây splaỵ