Fourier
Mục này trình bày một định lý tổng quát về một đặc trưng đại số của các toán tử Fourier, Hartley, Fourier-cosine và Fourier-sine.
Định nghĩa 1.4.1 ([31]). Tốn tử tuyến tính A ∈ L0(X) được gọi là toán tử đại số, nếu tồn tại đa thức
P(t) =tn +a1tn−1 +· · ·+an−1t+an (ai ∈ C) sao cho
P(A) = 0 (tốn tử đồng nhất khơng).
Nếu khơng tồn tại đa thức nào khác có bậc nhỏ hơn n, thì P(t) được gọi là đa
thức đặc trưng của toán tử đại số A. Từ nay về sau, đa thức đặc trưng của A
được ký hiệu là PA(t).
Định lý 1.4.2. 1) Phép biến đổi Fourier là toán tử đại số trong không gian
L2(R), với đa thức đặc trưng PF(t) = t4 −1. (xem [31])
2) Phép biến đổi Hartley là tốn tử đại số trong khơng gian L2(R), với đa thức
đặc trưng PH(t) =t2 −1.
3) Phép biến đổi Fourier-cosine, Fourier-sine trên tồn khơng gian là tốn tử đại số trong không gian L2(R), với đa thức đặc trưng tương ứng là PTc(t) =t3 −t, PTs(t) =t3 −t, (xem [31]).
Chứng minh. 1) Trong khơng gian L2(R), phép biến đổi Fourier có biến đổi ngược, ký hiệu là F−1, xác định như sau
f(x) = F−1g(y) = √1 2π Z R eixyg(y)dy, trong đó g(y) = √1 2π Z R e−iytf(t)dt. Ta có F−1g(y) = √1 2π Z R eixyg(y)dy = √1 2π Z R
e−ixyg(−y)dy = F g(−y).
Vì vậy
f(x) = F−1[F f(x)] = F−1g(y) = F g(−y) = F[F f(−x)] = F2[f(−x)]. Suy ra F4 = I.
Giả sử tồn tại đa thức bậc 3
sao cho aF3 + bF2 +cF +dI = 0.
Chọn các hàm Hermite Φ0,Φ1,Φ2,Φ3. Sử dụng công thức
FΦn = (−1)nΦn ta thu được hệ phương trình
a+ b+c+d = 0
(−i)3a+ (−i)2b+ (−i)c+d = 0 (−i)6a+ (−i)4b+ (−i)2c+d = 0 (−i)9a+ (−i)6b+ (−i)3c+d = 0.
Ma trận A = 1 1 1 1 i −1 −i 1 −1 1 −1 1 −i −1 i 1
có detA = 16i 6= 0. Suy ra a = b = c = d = 0. Vậy
PF(t) =t4 −1. 2) Xét các hàm f, g ∈ L2(R). Theo Định lý (1.2.7), ta có g(x) = √1 2π Z R
(H1g)(y)(cosxy + sinxy)dy,
và
f(x) = √1
2π
Z
R
(H2f)(y)(cosxy−sinxy)dy.
Suy ra H12 = I, H22 = I. Tương tự như chứng minh ở phần 1), ta chứng minh được PH1(t) = PH2(t) = t2 −1.
3) Theo Định lý 1.3.4, ta có
Tc2f(x) = f(x) +f(−x)
Suy ra Tc3f(x) = Tc(Tc2f)(x) = Tcf(x) +Tcf(−x) 2 = Tcf(x) +Tcf(x) 2 = Tcf(x).
Vậy , Tc3 = Tc. Tương tự như chứng minh ở phần 1), ta chứng minh được
PTc(t) = t3 −t.
Tương tự như vậy, theo Định lý 1.3.4 ta có
Ts2f(x) = f(x)−f(−x) 2 . Suy ra Ts3f(x) = Ts(Ts2f)(x) = Tsf(x)−Tsf(−x) 2 = Tsf(x) +Tsf(x) 2 = Tsf(x).
Vậy , Ts3 = Ts. Tương tự như chứng minh ở phần 1), ta chứng minh được
PTs(t) =t3 −t.
Chương 2
TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER
Lý thuyết về tích chập của phép biến đổi tích phân được nghiên cứu khá sớm và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của tốn học. Năm 1941, Churchill đã giới thiệu tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân và ứng dụng của các tích chập này vào giải các bài tốn biên. Năm 1958, Vilenkin xây dựng tích chập của phép biến đổi tích phân trong khơng gian đặc biệt của các hàm khả tích. Sau đó đến năm 1967, Kakichev trình bày phương pháp xây dựng các tích chập suy rộng từ các phép biến đổi tích phân. Ơng đã thiết lập nên một định nghĩa các tích chập từ các phép biến đổi tích phân và các tích chập của chuỗi lũy thừa vào năm 1990. Tuy nhiên, đối với các phép biến đổi tích phân thì một số kết quả về tích chập và tích chập suy rộng đã được cơng bố vào năm 1997 (xem [22]), và chúng được tổng quát lên vào năm 1998 (xem [25]).
Trong những năm gần đây, rất nhiều tích chập, tích chập suy rộng và đa tích chập của các phép biến đổi tích phân nổi tiếng như Fourier, Hankel, Mellin, Laplace và các ứng dụng của chúng được giới thiệu (xem [8, 9, 10, 11, 22, 25, 36, 38, 39, 44]). Phép biến đổi (f ∗ F g)(x) = 1 (2π)d2 Z Rd f(x−y)g(y)dy (2.1)
được gọi là tích chập Fourier của hàm f và hàm g. Lý thuyết tích chập được
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và các ngành khoa học kỹ thuật khác.
Trong phạm vi của đề tài, luận án này nghiên cứu các tích chập mới và ứng dụng trong lý thuyết vành định chuẩn và phương trình tích phân. Nhấn mạnh rằng, đối với phương trình tích phân với nhân dạng Toeplitz-Hankel, và phương trình tích phân với nhân là các hàm Gaussian thì tích chập (2.1) khơng đủ để giải chúng. Để mở rộng phạm vi ứng dụng, luận án xây dựng các tích chập của các phép biến đổi Fourier, và các phép biến đổi dạng Fourier. Đó là
các phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học: dịch chuyển, đồng dạng và nghịch đảo, phép biến đổi Fourier-cosine, Fourier-sine và phép biến đổi Hartley.
Trong chương này, luận án xét các hàm xác định trên Rd. Phép biến đổi
Fourier của hàm xác định trên Rd được định nghĩa như sau
(F f)(x) := 1
(2π)d2 Z
Rd
e−ihx,yif(y)dy,
và phép biến đổi Fourier ngược
(F−1f)(x) := 1 (2π)d2 Z Rd eihx,yif(y)dy. Ký hiệu
cosxy := coshx, yi, sinxy := sinhx, yi.
Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi công thức (Tcf)(x) := 1
(2π)d2 Z
Rd
cosxyf(y)dy,
(Tsf)(x) := 1 (2π)d2
Z
Rd
sinxyf(y)dy.
Phép biến đổi Hartley là
(H1f)(x) := 1 (2π)d2
Z
Rd
casxyf(y)dy,
(H2f)(x) := 1 (2π)d2 Z Rd cas(−xy)f(y)dy, trong đó
2.1 Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng
Mục này giới thiệu một số khái niệm về tích chập và tích chập suy rộng cho các tốn tuyến tính từ khơng gian tuyến tính vào một đại số giao hốn trên cùng một trường vơ hướng.
Giả sử U là một khơng gian tuyến tính và V là một đại số giao hốn trên
cùng một trường vơ hướng K. Giả sử T ∈ L(U, V) là một tốn tử tuyến tính
từ U vào V.
Định nghĩa 2.1.1 ([23, 25, 34]). Ánh xạ song tuyến tính ∗: U ×U :−→U
được gọi là tích chập của T, nếu T(∗(f, g)) = T(f)T(g) với bất kỳ f, g ∈ U. Trong luận án này, ảnh ∗(f, g) được ký hiệu là f ∗
T g.
Giả sử δ là một phần tử của đại số V.
Định nghĩa 2.1.2 ([21]). Ánh xạ song tuyến tính ∗: U ×U :−→U
được gọi là tích chập với hàm trọng δ của T, nếu
T(∗(f, g)) = δT(f)T(g)
với bất kỳ f, g ∈ U. Ảnh ∗(f, g) được ký hiệu là f ∗δ
T g.
Mỗi đẳng thức trong các Định nghĩa 2.1.1, 2.1.2 được gọi là đẳng thức nhân tử hóa (xem [11, 25, 33, 35, 42]).
Giả sử U1, U2, U3 là các khơng gian tuyến tính (có thể khác nhau) trên cùng một trường vô hướng K. Giả sử rằng K1 ∈ L(U1, V), K2 ∈ L(U2, V),
K3 ∈ L(U3, V) là các tốn tử tuyến tính từ U1, U2, U3 vào V tương ứng. Ký hiệu δ là một phần tử của đại số V.
Định nghĩa 2.1.3 ([23]). Ánh xạ song tuyến tính ∗: U1 ×U2 :−→U3
được gọi là tích chập với hàm trọng δ của K3, K1, K2 (theo thứ tự này) nếu đẳng thức sau là đúng
K3(∗(f, g)) = δK1(f)K2(g),
với bất kỳ f ∈ U1, g ∈ U2. Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức nhân tử hóa của tích chập.
Ảnh ∗(f, g) được ký hiệu bởi f ∗δ
K3,K1,K2g. Giả sửV là đại số có đơn vị. Nếu
δ là đơn vị của V, ta nói ngắn ngọn rằng đó là tích chập của K3, K1, K2. Trong trường hợp U1 = U2 = U3 và K1 = K2 = K3, thì tích chập được ký hiệu đơn giản như sau f ∗δ
K1 g, và là f ∗
K1 g nếu δ là đơn vị của V như trong Định nghĩa
2.1.1.
Nhờ ký hiệu f ∗δ
K3,K1,K2g mà tất cả các đẳng thức nhân tử hóa được viết
lại như sau: K3(f ∗δ
K3,K1,K2g) = δK1(f)K2(g).
Trong suốt luận án, ta sẽ xét V là đại số của tất cả các hàm đo được Lebesgue trên Rd và U1 = U2 = U3 = L1(Rd).