Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi hàm f ∈ L1, biến đổi Fourier fbcủa hàm f
được xác định bởi b f(ξ) = Z Kd f(x)χ(−ξ ·x)dx. (1.11)
Ở đây ξ ·x = ξ1x1 + · · ·+ ξdxd với mọi x = (x1, . . . , xd), ξ = (ξ1, . . . , ξd)
thuộc Kd.
Mệnh đề 1.3.2. ([47, trang 117])
(a) Biến đổi Fourier F là một biến đổi tuyến tính bị chặn từ L1 vào L∞, với ||fb||∞ ≤ ||f||1.
(b) Nếu f ∈ L1 thì fblà hàm liên tục đều.
(c) (Riemann-Lebesgue) Nếu f ∈ L1 thì fb(x) → 0 khi |x| → ∞.
Với mỗi hàmf ∈ L1∩L2 thì ||fb||2 = ||f||2. Biến đổi Fourier của f ∈ L2, kí hiệu làfb, được xác định như là giới hạn trong L2 của f χ[Bγ khi γ → ∞. Ở đây χBγ là hàm đặc trưng của hình cầu Bγ.
Một hàm giá trị phức f xác định trên Kd được gọi là hằng địa phương nếu với mọi x ∈ Kd, tồn tại số nguyên k(x) để f(x +y) = f(x) với mọi
y ∈ Bk(x). Kí hiệu E là tập tất cả các hàm hằng địa phương trên Kd. Sự hội tụ trong E như sau: fk → 0 trong E nếu như với mọi tập compact F
trong Kd thì (fk) hội tụ đều trên F đến 0. Ta kí hiệuD = D Kd
là tập tất cả các hàm thuộcE mà có giá compact. Mỗi hàm ϕ ∈ D thỏa mãn tính chất: tồn tại các số nguyên k, γ sao cho ϕ
là hằng số trên mỗi tập x+ Bk với x ∈ Kd và ϕ có giá nằm trong Bγ. D được trang bị tôpô như sau: (ϕk) → 0 trong D nếu tồn tại một cặp các số nguyên (N, γ) sao cho mỗi hàm ϕk là hằng trên các tập x+ BN và có giá nằm trong Bγ (với mỗi x ∈ Kd) và dãy hàm (ϕk) hội tụ đều tới không. Không gian D được gọi là không gian các hàm thử. D là không gian đủ và khả ly.
Mệnh đề 1.3.3. ([47, trang 118]) D là trù mật trong L` với mọi 1 ≤
` < ∞.
Họ D0 tất cả các phiếm hàm liên tục trên D được gọi là không gian các phân bố. D0 được trang bị tôpô ∗-yếu. Tác động của f ∈ D0 lên ϕ ∈ D được kí hiệu là (f, ϕ). Với mỗi hàm g ∈ L1loc đều xác định một phân bố
f ∈ D0 thỏa mãn (f, ϕ) = R gϕdx, với ϕ ∈ D. Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của f ∈ D0 được xác định bởi quy tắc: (f , ϕ) = (f,b ϕ),b
( ˇf , ϕ) = (f,ϕ). Với mọiˇ f ∈ D0 ta có fbˇ= f = fˇb.
Mệnh đề 1.3.4. ([47, trang 123]) Biến đổi Fourier là đồng phôi từ D
lên D và từ D0 lên D0.
Cho f ∈ D0(Km) và g ∈ D0(Kn). Tích trực tiếp f ×g ∈ D0(Km+n) được cho bởi cơng thức
(f(x)×g(y), ϕ) = (f(x),(g(y), ϕ(x, y))).
Ta kí hiệu Ωγ(x) = 1, nếu|x| ≤ qγ 0, nếu|x| > qγ.
Cho f, g ∈ D0. Tích chập f ∗g được xác định bởi (f ∗g, ϕ) = lim
γ→∞(f(x)×g(y),Ωγ(x)ϕ(x+y)), (1.12)
nếu giới hạn ở vế phải là tồn tại với mọiϕ ∈ D. Nếu f ∗g tồn tại thì g∗f
cũng tồn tại và f ∗g = g ∗f. Nếu g ∈ D, thì tích chập f ∗g có thể xác định như là một hàm trên Kd và
f ∗g(x) = (f(y), g(x−y)).