4. TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA
4.6. Kết luận Chương 4
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại duy nhất và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương của một mơ hình Nicholson có trễ với
t 0 5 10 20 25 30 Response N(t) 0.6 0.7 0.9 1 1.1 1.2 τ(t) = 10|sin(t)| τ(t) = 5 +|cos(t)| τ(t) = 1 + 10 sin2(4t)
Hình 4.3: Tính hút tồn cục của điểm cân bằngN∗
hàm tốc độ suy thoái phi tuyến. Dựa trên các kĩ thuật cải tiến từ nguyên lí so sánh bằng các bất đẳng thức vi-tích phân, chúng tơi thiết lập các điều kiện đảm bảo tính bền vững, tính tiêu hao đều và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương duy nhất của mơ hình. Các kết quả đạt được bao gồm:
1. Chứng minh sự tồn tại tồn cục của nghiệm dương, tính bền vững và tính tiêu hao đều trong C+
0 (các Định lí 4.2.1-4.2.3, và Hệ quả 4.2.1);
2. Chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hồn dương hút tồn cục (Định lí 4.3.1).
3. Chỉ ra sự tồn tại và chứng minh tính hút tồn cục của điểm cân bằng dương đối với một mơ hình Nicholson với hệ số hằng và hàm suy thối phi tuyến (Định lí 4.4.1).
KẾT LUẬN CHUNG
Luận án nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ xuất hiện trong các mơ hình sinh thái. Cụ thể, luận án nghiên cứu ba vấn đề sau: (1) Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ; (2) tính tiêu hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ; và (3) sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một mơ hình Nicholson có trễ với hàm tốc độ suy thối phi tuyến. Phương pháp chính được chúng tơi sử dụng xuyên suốt luận án là những phát triển và cải tiến từ nguyên lí so sánh với các bất đẳng thức vi-tích phân. Các điều kiện ổn định được thiết lập dựa trên cách tiếp cận bằng lý thuyết M-ma trận.
Các kết quả đạt được
1. Thiết lập được một số điều kiện đủ thơng qua tính chất phổ của M-ma trận đảm bảo tính ổn định hữu hạn (Định lí 2.2.1) và tính đồng bộ của nghiệm với tốc độ lũy thừa (Định lí 2.3.1).
2. Đưa ra các điều kiện và chứng minh tính tiêu hao tồn cục của hệ trong cả hai trường hợp khi các hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy (Định lí 3.2.1) và khi các hệ số phản hồi suy biến (Định lí 3.2.2).
3. Thiết lập được một đánh giá mũ suy rộng đối với một lớp bất đẳng thức vi phân dạng Halanay với trễ tỉ lệ (Hệ quả 3.2.3).
4. Chứng minh sự tồn tại tồn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều trong
C0+ của nghiệm dương đối với một mơ hình Nicholson có trễ với hàm tốc độ suy thối phi tuyến (Định lí 4.2.1-4.2.3, Hệ quả 4.2.1).
5. Chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hồn dương hút tồn cục đối với mơ hình Nicholson nói trên (Định lí 4.3.1). Một áp dụng với mơ hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân bằng dương hút toàn cục cũng được đưa ra (Định lí 4.4.1).
Các kết quả trên đây đều được chúng tôi kiểm chứng và minh họa bằng các ví dụ số. Các kết quả mơ phỏng đó chỉ ra tính vượt trội của các kết quả lý thuyết nhận được. Điều này khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận mà chúng tôi sử dụng trong luận án này.
Một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo
Bên cạnh các kết quả đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quan cần được tiếp tục nghiên cứu như:
• Tính tiêu hao, tính đồng bộ nghiệm của các hệ phương trình vi phân mơ tả mạng nơron khuếch tán với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.
• Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hồn dương đối với mơ hình Nicholson có trễ và hàm tốc độ suy thoái dạng phân thức D(t, N) = a(t)N
N +b(t).
DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN
[1] L.V. Hien, D.T. Son (2015), Finite-time stability of a class of non-autonomous neural networks with heterogeneous proportional delays,Applied Mathemat- ics and Compution, vol. 251, pp. 14–23 (SCIE)
[2] L.V. Hien, D.T. Son, H. Trinh (2018), On global dissipativity of nonau- tonomous neural networks with multiple proportional delays,IEEE Trans-
actions on Neural Network and Learning Systems, vol. 29, pp. 225–231 (SCI)
[3] D.T. Son, L.V. Hien, T.T. Anh (2019), Global attractivity of positive peri- odic solution of a delayed Nicholson model with nonlinear density-dependent mortality term, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No. 8, pp. 1-21 (SCIE)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Văn Hiện, Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân và điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHSP Hà Nội, 2010.
[2] F. Amato, R. Ambrosino, M. Ariola, C. Cosentino, G. De Tommasi, Finite- Time Stability and Control, Springer-Verlag, London, 2014.
[3] L. Berezansky, E. Braverman, L. Idels, Nicholson’s blowflies differential equations revisited: Main results and open problems, Appl. Math. Model.
34 (2010) 1405–1417.
[4] L. Berezansky, L. Idels, L. Troib, Global dynamics of Nicholson-type delay systems with applications,Nonlinear Anal. Real World Appl.12 (2011) 436– 445.
[5] A. Berman, R.J. Plemmons,Nonnegative Matrices in the Mathematical Sci- ences, SIAM, Philadelphia, 1994.
[6] D. Caetano, T. Faria, Stability and attractivity for Nicholson systems with time-dependent delays,Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ.No. 63 (2017) 1–19.
[7] Z. Chen, Periodic solutions for Nicholson-type delay system with nonlinear density-dependent mortality terms, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ.
No. 1 (2013) 1–10.
[8] T. Chen, L. Wang, Power-rate global stability of dynamical systems with unbounded time-varying delays,IEEE Trans. Circuit Syst.-II54 (2007) 705– 709.
[9] W. Chen, W. Wang, Almost periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies system with nonlinear density-dependent mortality terms and patch structure, Adv. Differ. Equ. No. 205 (2014) 1–19.
[10] L. Duan, L. Huang, Pseudo almost periodic dynamics of delay Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Math. Meth. Appl. Sci. 38 (2015) 1178–1189.
[11] L. Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, SIAM, Philadelphia,
2004.
[12] T. Erneux, Applied Delay Diferential Equations, Springer, Berlin, 2009.
[13] E. Fridman, Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control,
Birkhăauser, 2014.
[14] A. Halanay, Differential Equations, Academic Press, New York, 1996.
[15] J.K. Hale, S.M. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993.
[16] L.V. Hien, An explicit criterion for finite-time stability of linear nonau- tonomous systems with delays, Appl. Math. Lett. 30 (2014) 12–18.
[17] L.V. Hien, Global asymptotic behaviour of positive solutions to a non- autonomous Nicholson’s blowflies model with delays,J. Biol. Dyn.8 (2014) 135–144.
[18] L.V. Hien, T.T. Loan, B.T. Huyen-Trang, H. Trinh, Existence and global asymptotic stability of positive periodic solution of delayed Cohen– Grossberg neural networks, Appl. Math. Comput. 240 (2014) 200–212. [19] L.V. Hien, V.N. Phat, H. Trinh, New generalized Halanay inequalities with
applications to stability of nonlinear non-autonomous time-delay systems,
Nonlinear Dyn. 82 (2015) 563–575.
[20] G. Kamenkov, On stability of motion over a finite interval of time, J. Appl. Math. Mech. 17 (1953) 529–540.
[21] X. Liao, L. Wang, P. Yu, Stability of Dynamical Systems, Elservier, New
York, 2007.
[22] B. Liu, The existence and uniqueness of positive periodic solutions of Nicholson-type delay systems, Nonlinear Anal. Real World Appl. 12 (2011) 3145–3151.
[23] B. Liu, Global dynamic behaviors for a delayed Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ.,
No. 45(2013) 1–13.
[24] B. Liu, Almost periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term,Adv. Differ. Equ.No. 72 (2014) 1–16.
[25] B. Liu, Global exponential stability of positive periodic solutions for a de- layed Nicholson’s blowflies model,J. Math. Anal. Appl. 412 (2015) 212–221. [26] Q.L. Liu, H.S. Ding, Existence of positive almost-periodic solutions for a
Nicholson’s blowflies model, Electron. J. Differ. Equ. No. 56 (2013) 1–9. [27] F. Long, Positive almost periodic solution for a class of Nicholson’s blowflies
model with a linear harvesting term, Nonlinear Anal. Real World Appl. 13 (2012) 686–693.
[28] C. Modi, D. Patel, B. Borisaniya, H. Patel, A. Patel, M. Rajarajan, A survey of intrusion detection techniques in Cloud, J. Netw. Comput. Appl.
36 (2013) 42–57.
[29] A.J. Nicholson, An outline of the dynamics of animal populations, Aust. J. Zool. 2(1954) 9–65.
[30] H. Smith,An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences, Springer-Verlag, New York, 2011.
[31] T. Insperger, T. Ersal, G. Orosz, Time Delay Systems: Theory, Numerics, Applications, and Experiments, Springer, Switzerland, 2017.
[32] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, Berlin, 1988.
[33] Z. Tu, J. Jian, B. Wang, Positive invariant sets and global exponential attractive sets of a class of neural networks with unbounded time-delays,
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 16 (2011) 3738–3745.
[34] P. Venketesh, R. Venkatesan, A survey on applications of neural networks and evolutionary techniques in web caching, IETE Tech. Rev. 26 (2009) 171–180.
[35] L. Wang, Almost periodic solution for Nicholson’s blowflies model with patch structure and linear harvesting terms, Appl. Math. Model. 37 (2013) 2153–2165.
[36] L. Wen, Y. Yu, W. Wang, Generalized Halanay inequalities for dissipativity of Volterra functional differential equations,J. Math. Anal. Appl.347 (2008) 169–178.
[37] L. Wen, S. Li, Dissipativity of Volterra functional differential equations, J. Math. Anal. Appl. 324 (2006) 696–706.
[38] E. Witrant, E. Fridman, O. Sename, L. Dugard (Eds.), Recent Results on Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel, 2016.
[39] W. Xiong, Delay effect in the Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ.
No. 20 (2017) 1–11.
[40] H. Zhang, Z. Wang, and D. Liu, A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 25 (2014) 1229–1262.
[41] L. Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with pro- portional delays, Nonlinear Dyn. 77 (2014) 41–47.
[42] L. Zhou, Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process. Lett. 38 (2013) 347–359. [43] L. Zhou, Dissipativity of a class of cellular neural networks with proportional
delays, Nonlinear Dyn. 73 (2013) 1895–1903.
[44] L. Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with pro- portional delays, Nonlinear Dyn. 77 (2014) 41–47.
[45] L. Zhou, X. Chen, Y. Yang, Asymptotic stability of cellular neural networks with multiple proportional delays,Appl. Math. Comput.229 (2014) 457–466.