D C= HC E B= HB.
i/Tập hợp tổng các số ở mỗi hàng là tập A i Tập hợp tổng các số ở mỗi cột là tập B.
ii/ Tập hợp tổng các số ở mỗi cột là tập B.
iii/ Có ít nhất (n−1)2+k số 0 trong bảng với k là số các phần tử chung của A và B.
Trước hết, ta thấy rằng nếu một giá trị k sao cho tồn tại 2 phần tử bằng nhau ở mỗi tập là
k k
a =b =tthì ta điền số t vào ô vuông nằm ở hàng thứ k và cột thứ k, các ơ cịn lại của hàng thứ k và cột thứ k đều điền vào số 0; như thế thì tổng các số ở hàng và cột này thỏa mãn đề bài và không ảnh hưởng đến các hàng và cột khác. Do đó, khơng mất tính tổng quát, ta xét trường hợp A∩ = ∅B (trường hợp có các phần tử chung thì điền thêm vào các hàng và cột theo cách tương tự như trên), tức là số phần tử chung của hai tập là k=0.
Ta sẽ chứng minh bài toán này bằng quy nạp. Gọi Τ là tập hợp các điều kiện i/, ii/, iii/ như trên (điều kiện iii/ tương ứng với trường hợp xét số nguyên dương n).
Với n = 1, bài toán hiển nhiên đúng.
Giả sử bài toán đúng với mọi số tập hợp có n – 1 phần tử. Ta sẽ chứng minh rằng với hai tập A, B có n phần tử, ta cũng có thể xây dựng một bảng n n× thỏa mãn điều kiện Τ.
Thật vậy, xét hai tập hợp A={ ,a a a1 2, 3,...,an},B={ ,b b b1 2, ,..., }3 bn trong đó:
1 2 3 ... n
a <a <a < <a , b1<b2<b3< <... bn (hai tập này khơng có phần tử nào chung).
Giả sử a1<b1. Do tổng các phần tử ở hai tập bằng nhau nên tồn tại một chỉ số i thỏa mãn
1 1 1 ( 1 1) 0
i i
a >b > −b a ⇒a − b −a > . Ta xét hai tập hợp A*, B* như sau:
2 3 1 1 1 * { , ,..., i , i ,..., n} A = a a a− a − +b a a , B* { , ,..., }= b b2 3 bn . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n i i 2 1 n 2 1
33 Hai tập hợp này có cùng số phần tử là n – 1 nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại một bảng có kích thước
(n− ×1) (n−1) thỏa mãn điều kiện Τ (trong bảng này có ít nhất 2
(n−2) số 0).
Ta thêm vào bên trái bảng một cột và bên trên bảng một hàng nữa như hình vẽ. Ở ơ góc bên trái và phía trên, ta điền số a1, ở hàng thứ i của bảng ban đầu (hàng có tổng các phần tử bằng ai− +b1 a1), ta điền số b1−a1; còn tất cả các ơ cịn lại của hàng và cột vừa thêm vào, ta điền vào các số 0. Khi đó, bảng này có tổng các phần tử ở mỗi hàng là tập A và tổng các phần tử ở mỗi cột là tập B, số các số 0 ở bảng vừa lập được không nhỏ hơn (n−2)2+2(n− − =1) 1 (n−1)2 và do đó nó thỏa mãn điều kiện Τ.
Do đó, bài tốn cũng đúng với mọi tập hợp có n phần tử.
Theo nguyên lí quy tạp, bài tốn này đúng với mọi số nguyên dương n. Vậy ta có đpcm. n - 1 i 2 1 n - 1 3 2 1
34
Bài 2.
Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn nội tiếp I. Gọi (ka) là đường trịn có tâm nằm
trên đường cao của góc A và tiếp xúc trong với đường tròn (I) tại A1. Các điểm B C1, 1 xác định tương tự .