CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP HèNH CHIẾU VNG GĨC
3.6. BIỂU DIỄN MẶT HèNH HỌC
3.6.2. Hỡnh biểu diễn cỏc mặt hỡnh học
Bài toỏn cơ bản thuộc mặt hỡnh học:
Muốn biểu diễn một điểm thuộc một mặt hỡnh học, ta gắn điểm vào một đường (thẳng hoặc elip) sao cho cỏc hỡnh chiếu của đường đú là đường thẳng hoặc đường trũn.
Quy ước thấy khuất trờn hỡnh chiếu:
Khi biểu diễn mặt hỡnh học (cũng như cỏc yếu tố khỏc), để gõy ấn tượng nổi trờn hỡnh chiếu, người ta thường biểu diễn thấy - khuất của hỡnh với quy ước sau:
Mắt người quan sỏt đặt phớa trờn P1, trước P2 và đặt xa vơ tận theo cỏc hướng nhỡn vng gúc với hai mặt phẳng hỡnh chiếu nàỵ
Mặt phẳng xem như khụng trong suốt. Với quy ước này thỡ:
- Cặp điểm nằm trờn đường thẳng chiếu bằng, điểm nào cao hơn sẽ thấy ở hỡnh chiếu bằng.
- Cặp điểm nằm trờn đường thẳng chiếu đứng, điểm nào xa hơn sẽ thấy ở hỡnh chiếu đứng.
ạ Đa diện
Mặt đa diện là tập hợp những hỡnh phẳng nờn bài tốn cơ bản trờn mặt đa diện bản chất là bài toỏn cơ bản trờn mặt phẳng. Quy ước cỏc đa diện ở đõy là đa diện lồị
Vớ dụ: Cho tứ diện SABC, mặt bờn ABC vuụng gúc
với P2 như hỡnh. Vẽ điểm K thuộc tứ diện, biết K2.
Hỡnh biểu diễn của SABC được ỏp dụng quy ước thấy khuất ở trờn. Trờn hỡnh chiếu bằng, cạnh AC khuất.
Muốn vẽ hỡnh chiếu bằng K1 của điểm K, ta gắn nú vào đường thẳng SD. Ta cú 2 nghiệm K1 và K’1. K1 thuộc S1A1B1 khuất, K’1 thuộc S1B1C1 thấỵ
Trờn hỡnh chiếu đứng, K2 khuất, K’2 thấỵ
b. Mặt nún bậc 2
Mặt nún bậc hai là mặt được tạo thành bởi một đường thẳng d chuyển động luụn luụn đi qua một điểm S cố định gọi là đỉnh nún và tựa vào một đường cong bậc hai (c) gọi là đường chuẩn của nún (hỡnh 3.27a).
S1 A1 C1 B1 K1 K'1 S2 A2 C2 B2 D1D'1 K2K'2 D2D'2
Mặt nún bậc hai gồm cú hai tầng đối xứng nhau qua đỉnh nún. Hỡnh 3.27b biểu diễn một tầng của mặt nún bậc hai được giới hạn từ đỉnh S đến đường chuẩn bậc hai (C) thuộc mặt phẳng chiếu đứng cú hỡnh chiếu bằng là elip.
- a2, b2 là hai đường sinh bao ở hỡnh chiếu đứng của nún (a1, b1 khơng vẽ vỡ chỳng là đường sinh thường)
- m1, n1 là hai đường sinh bao ở hỡnh chiếu bằng của nún, khỏc a1, b1 (m2, n2 khụng vẽ)
Hỡnh 3.27:
Trong tài liệu này ta chỉ nghiờn cứu mặt nún bậc 2 nờn khi núi mặt nún, ta hiểu là mặt nún bậc 2.
Vớ dụ: Cho mặt nún, đỉnh S, đường chuẩn là elip c thuộc mặt phẳng chiếu đứng, c2 là
đoạn thẳng, c1 là đường trịn (hỡnh 3.28). Vẽ điểm K thuộc mặt nún, biết K2.
Muốn vẽ hỡnh chiếu bằng K1 của điểm K, ta gắn nú vào đường sinh SK, ta cú hai nghiệm K1 và K1’ và đều thấỵ Trờn hỡnh chiếu đứng K2 khuất, K’2 thấỵ a) (c) S d H S2 S1 a2 b2 n1 m1 (c2) (c1) b)
Hỡnh 3.28: c. Mặt trụ bậc 2
Mặt trụ bậc hai là mặt trụ cú đường chuẩn là đường bậc 2.
Mặt trụ bậc hai là mặt kẻ khai triển được. Ta chỉ học mặt trụ bậc 2.
Cú thể xem mặt trụ là mặt nún cú đỉnh ở xa vơ tận nờn cỏc đường sinh của chỳng song song nhaụ Nếu mặt trụ cú đường sinh vng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú mặt trụ chiếu (đứng hoặc bằng).
Vớ dụ: Cho mặt trụ với đường chuẩn là elip c, c2 là đoạn thẳng, c1 là đường trũn như
hỡnh 3.29. Vẽ điểm K thuộc mặt trụ, biết K2.
Cỏch đọc cỏc hỡnh chiếu của mặt trụ tương tự mặt nún.
- Muốn vẽ điểm K, gắn K2 vào đường sinh KM, ta cú 2 nghiệm K1 và K’1 đều thấỵ Trờn hỡnh chiếu đứng, K2 thấy, K’2 khuất.
- Cú thể vẽ điểm K bằng elip c’ thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng của elip c. Chỳng là cỏc elip bằng nhau, ảnh của nhau qua một phộp tịnh tiến theo phương trụ.
c’2 = và // c2, c’1 =c1, tõm thuộc trục mặt trụ.
d. Mặt cầu
Mặt cầu là mặt bậc 2, và là mặt trũn xoay, được tạo thành bởi một đường trũn xoay xung quanh một đường kớnh nào đú của nú.
Muốn vẽ một điểm thuộc mặt cầu, ta gắn điểm đú vào đường trịn của mặt cầu thuộc
S2
S1
K2K'2
K'1
mặt phẳng song song với P1, hoặc song song với P2 để cỏc hỡnh chiếu của chỳng là đoạn thẳng và đường trũn.
Vớ dụ: Cho mặt cầu tõm Ọ Vẽ điểm K thuộc mặt cầu, biết K2 (hỡnh 3.30).
Đường trịn bao trờn hỡnh chiếu đứng mặt cầu là đường trũn lớn nhất a thuộc mặt phẳng song song với P2.
Đường trũn bao trờn hỡnh chiếu bằng mặt cầu là đường trũn lớn nhất b (đường xớch đạo) thuộc mặt phẳng song song với P1.
Cỏc điểm thuộc nửa trờn mặt cầu kể cả b được thấy ở hỡnh chiếu bằng. Cỏc điểm thuộc nửa trước mặt cầu kể cả a được thấy trờn hỡnh chiếu đứng.
- Muốn vẽ điểm K của mặt cầu, gắn K vào đường trũn c thuộc mặt phẳng bằng (hoặc mặt phẳng mặt) như hỡnh 3.30, ta được 2 nghiệm K1, K’1 đều thấỵ Trờn hỡnh chiếu đứng, K2 thấy, K’2 khuất.