Et (rt+1) λλ λΩ αα αt (5)

Trong đó:

rt+1 là vector tỷ suất sinh lợi vượt trội kỳ vọng của tài sản (khi một trong các tài sản thực hiện vai trị làm tài sản chính dùng để tính tốn).

λ λλ

λ là hệ số ngại rủi ro cố định tương đối (constant relative risk aversion _CRRA).

Ω ΩΩ

Ω là ma trận hiệp phương sai của tỷ suất sinh lợi của tài sản.

α αα

αt là vector tỷ trọng tài sản trong tổng danh mục đầu tư.

Phương trình (5) cho thấy tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trên mỗi tài sản vượt trội trong lợi nhuận trên một tài sản chuẩn là một hàm số gồm mức ngại rủi ro, tỷ trọng của từng tài sản trong tổng giá trị tài sản và hiệp phương sai tỷ suất sinh lợi của tài sản.

Trong mơ hình đơn giản này, với một tập hợp các cổ phiếu tài sản, tỷ suất sinh lợi vượt trội kỳ vọng hoàn toàn được quyết định bởi ma trận phương sai - hiệp phương sai của tỷ suất sinh lợi tài sản và hiệp phương sai này thể hiện mối quan hệ có khả năng thay thế giữa các tài

sản khác nhau. Mơ hình này hàm ý rằng tác động của sự thay đổi trong các tài sản cổ phiếu - mang lại nhờ nghiệp vụ hoán đổi giữa tiền và trái phiếu chính phủ Anh, ví dụ như - được đưa ra bởi hiệp phương sai giữa tỷ suất sinh lợi tài sản cùng với hệ số CRRA (λλλλ). Điều này cho thấy người ta có thể hiệu chỉnh tác động của việc mua sắm tài sản của Ngân hàng bằng cách ước lượng hiệp phương sai tỷ suất sinh lợi và giả định một giá trị cho hệ số ngại rủi ro. Chúng tôi thực hiện theo phương pháp dưới đây.

Dĩ nhiên, cần phải nhận ra rằng mơ hình này thừa kế một số giả định đã được đơn giản hóa. Có một số các ảnh hưởng quan trọng khác trên tỷ suất sinh lợi tài sản bên cạnh yếu tố cung tài sản, mà khơng được đưa vào trong mơ hình (ví dụ như chu kỳ kinh doanh). Hơn nữa, mơ hình này thể hiện một phần cân bằng tự nhiên. Tuy nhiên, nó dường như tạo sự thiết thực đáng ngạc nhiên ở các phần mở rộng khác nhau (xem Campbell - 1999).

Làm sao để thực hiện mơ hình thực nghiệm cơ bản này? Chúng ta không quan sát tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, do đó, chúng ta sẽ giả định rằng các nhà đầu tư có kỳ vọng hợp lý, do đó sự khác biệt giữa tỷ suất sinh lợi vượt trội tạo ra sau khi thực hiện và tỷ suất sinh lợi vượt trội kỳ vọng đo lường bằng một sai số ngẫu nhiên, trực giao với các cổ phần danh mục đầu tư (nếu có những biến thơng tin khác khi đó những lỗi sẽ được trực giao, thẳng góc với tất cả thông tin thiết lập bao gồm danh mục đầu tư cổ phiếu)

rt+1 - Et rt+1 = t+1, Et ( t+1) = 0, Et ( t+1 |ααααt ) = 0

Thêm 1 kỳ cố định, theo đó chúng tơi viết mơ hình thực nghiệm cơ bản như (xem ví dụ như

Hess ( 1999) hoặc Enel và cộng sự để đạo hàm_1995)

(6)

Chúng ta sẽ xem xét hai mơ hình khác nhau: một mơ hình tự hồi quy cơ bản VAR (vector autoregressive) được thực hiện theo lý thuyết, nhưng chúng tôi cho phép diễn đạt bằng các dữ liệu, và một mơ hình đa biến hơn là mơ hình tự tương quan phương sai có điều kiện GARCH (generalised autoregressive conditional heteroscedasticity) hay còn gọi là mơ hình

GARCH-M, chúng tơi áp dụng nhiều cấu trúc hơn bằng cách đặt ra các giới hạn lý thuyết trong lý thuyết cơ bản.

6.2.Ứng dụng mơ hình VAR

Phương pháp tiếp cận đầu tiên của chúng tôi là tiếp cận các dữ liệu lớn. Chúng tôi ước lượng VAR bao gồm cả tỷ suất sinh lợi vượt trội và cổ phần tài sản, và cũng cho phép ảnh hưởng của một tập hợp các biến ngoại sinh, với mục đích tìm ra những ảnh hưởng khác đối với cung và cầu tài sản. Ưu điểm của phương pháp này là nó cho phép xem yếu tố cung tài sản như là biến nội sinh và phản ảnh sự thay đổi của các tỷ suất sinh lợi vượt trội.

Vì vậy, VAR có dạng:

(7)

Yt là vector các biến nội sinh, bao gồm cả tỷ suất sinh lợi vượt trội hàng tháng và cổ

phần tổng giá trị tài sản nắm giữ.

Xt là vector các biến ngoại sinh.

Trong mơ hình này, hiệp phương sai tỷ suất sinh lợi tiềm ẩn trong mơ hình ước lượng chứ khơng thể hiện một cách rõ ràng theo mơ hình.

Trong mơ hình cơ bản, bao gồm tỷ suất sinh lợi tài sản hàng tháng của trái phiếu chính

phủ Anh, trái phiếu công ty bằng đồng bảng Anh, cổ phiếu Anh (UK equities) và M4, với M4 được xem như là tài sản cơ sở (numeraire asset). Chi tiết của việc xây dựng giá tài sản và dữ liệu cổ phiếu tài sản được ghi trong phụ lục dữ liệu. Các biến ngoại sinh, bao gồm các biến thể hiện trạng thái của chu kỳ kinh tế như: tốc độ tăng trưởng sản xuất công nghiệp, (điều chỉnh theo mùa) lạm phát RPI (retail-prices index: 1940s, còn CPI 1990s ) và độ dốc của đường cong lãi suất.

Tóm tắt số liệu thống kê về tỷ suất sinh lợi giá tài sản và dữ liệu cổ phiếu giai đoạn tháng 12 năm 1990 đến tháng 6 năm 2007 được thể hiện trong Bảng C, các cổ phiếu tài sản cũng được thể hiện trong Biểu đồ 25. Như chúng ta đã dự đoán, tài sản rủi ro cao hơn có xu

trên cổ phiếu là lớn gần hai lần tỷ suất sinh lợi do nắm giữ M4. Độ lệch chuẩn tỷ suất sinh lợi của trái phiếu cơng ty thì hơi thấp hơn một ít so với TPCP Anh ít nhất là trong mẫu của chúng tôi, mặc dù tỷ suất sinh lợi trung bình thì cao hơn một chút. Một nét đặc trưng về dữ liệu cổ phiếu tài sản là mối quan hệ nghịch đảo mạnh giữa cổ phần M4 và cổ phiếu (Biểu đồ 25).

Đồ thị 25: Giá tài sản

Chúng tơi ước lượng mơ hình bằng phương pháp OLS sử dụng dữ liệu hàng tháng từ tháng 12 năm 1991 đến giữa năm 2007, trước khi cuộc khủng hoảng tài chính tồn cầu hiện nay bắt đầu. Chúng tôi sử dụng bảy độ trễ của mỗi biến nội sinh, phù hợp với các kết quả từ tiêu chí lựa chọn độ trễ Akaike và Schwarz thông thường, và kiểm tra sau khi đánh giá gồm kiểm chứng sự ổn định được thỏa đáng. Sau đó chúng tơi sử dụng mơ hình tạo các phản ứng dao động, cho phép chúng tơi tóm tắt cách thức tỷ suất sinh lợi vượt trội tài sản và yếu tố cung tài sản được dự báo để phản ánh một cú sốc đối với các cổ phần của trái phiếu chính phủ Anh trong danh mục đầu tư tổng hợp. Khi tiến hành phân tích các phản ứng dao động, một mối quan tâm quan trọng là phương pháp được sử dụng để xác định những cú sốc tương ứng với mỗi biến nội sinh trong VAR. Những thay đổi đối với trái phiếu chính phủ Anh được thể hiện như là cú sốc QE và điều này được xác định bằng phương pháp đệ quy chuẩn, bằng cách sắp xếp TPCP Anh cuối cùng trong mơ hình VAR. Chúng tôi áp dụng phương pháp phân tích Cholesky để tính tốn các phản ứng dao động.

Biểu đồ 26 và 27 cho thấy phản ứng dao động được thể hiện như là độ lệch chuẩn giảm xuống trong các trái phiếu chính phủ Anh (được bù đắp bởi sự gia tăng cổ phần của M4). Theo lý thuyết, tỷ suất sinh lợi vượt trội dự kiến của trái phiếu chính phủ, trái phiếu cơng ty và cổ phiếu tất cả đều giảm xuống. Điều này sẽ phù hợp với sự tăng giá tài sản, như các nhà đầu tư cố gắng tái phân bổ danh mục đầu tư của họ loại bỏ trái phiếu chính phủ Anh. Phản ứng về số lượng đối với cú sốc này thì tương đối khó hiểu, tuy nhiên: trong khi trái phiếu công ty tăng nhẹ và trái phiếu chính phủ Anh giảm (như dự kiến), thì cổ phiếu cũng giảm. Kết quả này khó phù hợp với mơ hình cân bằng danh mục đầu tư, nhưng có thể phản ánh thực tế là giá trị M4 trong mẫu chuyển dịch nghịch đảo với cổ phiếu.

Các phản ứng dao động được dựa trên một cú sốc độ lệch chuẩn, thể hiện sự giảm sút 5 tỷ bảng của trái phiếu chính phủ Anh (sử dụng số liệu trung bình của mẫu trái phiếu chính phủ). Để phóng đại quy mô những con số này để mô phỏng việc mua sắm tài sản của MPC, chúng tôi giả định đơn giản rằng tất cả các việc mua bán là từ những nhà đầu tư phi ngân hàng trong nước (vì thế tất cả các vụ mua bán trái phiếu chính phủ có thể dẫn đến lượng tiền nắm giữ lớn thêm, ít nhất là ban đầu) và được thực hiện vào lúc bắt đầu của thời kỳ. Giả định rằng

tất cả các vụ mua bán đến từ khu vực ngồi ngân hàng trong nước có nghĩa là ước lượng của chúng tơi có thể là đánh giá q cao những tác động.

Để làm cho các kết quả dễ so sánh được với những thay đổi về tỷ suất sinh lời (hàng năm), bảng D cho thấy tác động bao hàm trong mơ hình của QE đối với kỳ hạn của tỷ suất sinh lợi hàng năm. Trong trường hợp phương sai biến động nhiều thì độ tin cậy của mơ hình sẽ thấp. Cột 2 và 3 của bảng trình bày 2 phương pháp đo lường ảnh hưởng của đến tỷ suất sinh lợi hàng tháng: trong giai đoạn đầu sau cú sốc và bình quân hơn 6 tháng đầu sau cú sốc. Con số ước tính cho cả tỷ suất sinh lợi vượt trội của trái phiếu chính phủ lẫn trái phiếu cơng ty thì tương tự như phản ứng tức thời của thị trường đã được thảo luận trong phần 4 và 5. Con số ước tính cho tỷ suất sinh lợi vượt trội của tài sản rõ ràng lớn hơn nhiều và cũng khó để so sánh

trực tiếp với phân tích trước đó. Sử dụng mơ hình chiết khấu cổ tức (như trong Inkinen el al

_2010) để thể hiện khoảng ước tính về giá cả nhưng lại hàm ý một mức tăng từ 20% đến 70%. Ước tính trước rõ ràng là khơng hợp lý. Chúng tôi kết luận là ảnh hưởng đối với giá cổ phiếu là tiềm năng rất lớn, nhưng cũng là điều khơng chắc chắn.

Bảng D. Ước tính tác động của QE đối với suất sinh lợi vượt trội hàng năm (điểm cơ bản)

Mơ hình VAR

GARCH đa biến trong mơ hình trung bình

Tác động tức thì Trung bình 6 tháng Hiệu ứng Suất sinh lợi vượt trội

trên trái phiếu chính phủ -85 -32 -70

Suất sinh lợi vượt trội

trên trái phiếu cty -81 -32 -66

Suất sinh lợi vượt trội

trên tài sản -282 -121 -34

6.3.Mơ hình đa biến GARCH

Một cảnh báo quan trọng với mơ hình VAR khơng hạn chế là nó giả định hoàn toàn rằng một ma trận hiệp phương sai giữa suất sinh lợi tài sản là bất biến. Điều đó là sai lệch với các tài liệu thực nghiệm, các tài liệu này cho thấy rằng các hiệp phương sai về bản chất có thể thay đổi đáng kể theo thời gian, và đặc biệt là trong những khoảng thời gian căng thẳng về tài chính. Vì thế, mơ hình này khơng xét đến thực tế là mức độ thay thế của các tài sản khác nhau sẽ thay đổi để đáp ứng với sự tiến triển của các điều kiện trên thị trường.

Để cho phép khả năng ma trận hiệp phương sai của tỷ suất sinh lợi từ tài sản có thể thay đổi theo thời gian một cách rõ ràng, chúng tơi cũng ước lượng mơ hình cân bằng danh mục đầu tư trong công thức (6), bằng cách sử dụng một khung GARCH-M đa biến (xem Engel et al (1995)). Phương pháp này cho phép chúng tôi ước lượng một cấu trúc hiệp phương sai thay đổi theo thời gian, nhưng phương pháp này xem cổ phần tài sản là biến ngoại sinh. Mơ hình ước lượng đối với danh mục đầu tư n tài sản được tính tốn theo cơng thức sau:

Rt+1 = A + λλλλΩΩΩΩtααααt + εεεεt+1 (8)

Ω ΩΩ

Ωt = C*’C* + A*’εεεεtεεεεt’A* + B*’ ΩΩΩΩt-1B* (9)

Cấu trúc hiệp phương sai được đưa ra trong cơng thức (9) là mơ hình BEKK đầu tiên của Engle và Kroner (1995), trong đó C*, A* và B* là (N x N) những ma trận hệ số với tam giác trên C*. Cấu trúc bậc hai của mơ hình BEKK đảm bảo rằng ma trận hiệp phương sai được

xác định dương. Mơ hình được ước lượng ở mức cao nhất có thể với giả định là các sai số trong điều kiện thông thường.

Đầu tiên chúng ta ước lượng mơ hình này trong thời điểm trước khủng hoảng giống như mơ hình VAR để suy luận là mơ hình này biểu hiện những tác động gì đối với việc mua 200 tỷ bảng Anh trái phiếu chính phủ. Khi mơ hình này được ước lượng một cách rộng rãi thì tham số CRRA lại âm, vì thế theo Hess (1999) chúng ta giới hạn hệ số này tới 3. Mơ hình được báo cáo rất phù hợp với các dữ liệu và khơng có những tương quan cịn lại. Bảng E biểu hiện các kết quả ước lượng. Và cần lưu ý rằng một tham số có độ rủi ro lớn hơn có thể tạo ra những thay đổi lớn hơn đối với tỷ suất sinh lợi mong đợi.

Để mô phỏng tác động của QE, chúng tôi cũng tạo ra giả định như trước. Chúng tôi giả định rằng tất cả trái phiếu chính phủ được mua bởi nhà đầu tư phi ngân hàng trong nước (vì thế việc mua tất cả trái phiếu chính phủ có thể dẫn đến việc tăng thêm lượng tiền nắm giữ, ít nhất là vào lúc đầu) và được thực hiện ở thời kỳ đầu. Những tác động đối với lợi nhuận vượt mức hằng năm được biểu hiện ở cột cuối Bảng D, có được bằng cách sử dụng đạo hàm của mối quan hệ cầu tài sản (bằng cách sử dụng giá trị trung bình của hiệp phương sai thu nhập từ tài sản được ước lượng thông qua mẫu). Những con số trong phạm vi này được biểu hiện bởi mơ hình VAR đối với trái phiếu chính phủ và trái phiếu cơng ty, nhưng thấp hơn đối với thu nhập vốn cổ phần. Thực tế là suất sinh lợi trái phiếu chính phủ và trái phiếu cơng ty có tổng giá trị tương đương với giá trị thay thế và điều này cũng khá hợp lý.

Chúng ta có thể trơng đợi rằng chính sách nới lỏng định lượng QE sẽ thay đổi cấu trúc hiệp phương sai của lợi nhuận. Để kiểm tra vấn đề này, chúng tơi có thể tái ước lượng mơ hình đa biến GARCH-M thơng qua một mẫu dài hơn đến cuối năm 2009. Đồ thị 28 và 29 cho thấy các hiệp phương sai biến đổi theo thời gian được ước lượng giữa trái phiếu và vốn cổ phần, giữa trái phiếu chính phủ và trái phiếu cơng ty từ mơ hình này. Khủng hoảng tài chính trở nên nghiêm trọng vào cuối năm 2008 được biểu hiện rất rõ sự biến động lớn trong cả hai hiệp phương sai này trong cùng thời điểm. Trong suốt năm 2009, dường như có một vài biểu hiện bình thường hóa trở lại, mặc dù điều này có thể khơng liên quan trực tiếp đến QE, nhưng cũng cho thấy một số phát triển khác trong cùng thời điểm.

Tóm lại, mặc dù vẫn có những điều không chắc chắn, nhưng ước lượng thực nghiệm của chúng tôi dường như đáng tin cậy cùng với những phân tích được báo cáo trong Phần 4 và 5. Ước lượng của chúng tơi có thể cho thấy một ảnh hưởng đến lợi nhuận vượt trội hàng năm

của trái phiếu chính phủ từ 30 đến 85 điểm, con số này khá giống với ước lượng của chúng tôi về tác động của tái cân bằng danh mục đầu tư từ những phân tích của chúng tơi về tác động của việc công bố. Những điều không chắc chắn chủ yếu liên quan đến tác động ước lượng trên vốn cổ phần, với những phương pháp khác nhau sẽ tạo ra những ước lượng khác nhau của những ảnh hưởng có thể là từ QE đến lợi nhuận vượt trội và những phân tích dựa trên cơ sở VAR có thể biểu hiện là một sự sụt giảm cổ phần danh mục đầu tư.