Định nghĩa 3.3.3. Giả sử ϕ(t)là hàm xác định trênΓ. Hàmϕ(t)được gọi là thỏa mãn điều kiện H¨older trênΓvới bất kỳ cặp điểmt1,t2∈Γnào ta cũng có
|ϕ(t1)−ϕ(t2)| ≤A|t1−t2|µ (3.3.6)
trong đó A là hằng số dương được gọi là hệ số, còn 0< µ <1 được gọi là chỉ số H¨older.
Ta ký hiệu lớp các hàm thỏa mãn điều kiện H¨older (3.3.6) với cùng chỉ sốµ là H(µ).
Định nghĩa 3.3.4. Chuẩn trong không gianH(µ)được xác định như sau kϕ(t)kH(µ)=max t∈Γ |ϕ(t)|+ sup t1,t2∈Γ |ϕ(t2)−ϕ(t1)| |t2−t1|µ . (3.3.7)
Nhận xét.Dễ thấy các tiên đề về chuẩn được thỏa mãn với (3.3.7).
Định lý 3.3.1. Với việc xác định chuẩn theo công thức (3.3.7) thì H(µ)trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là không gian Banach.
Chứng minh.Giả sửϕ1,ϕ2, ...là dãy Cauchy trongH(µ). Ta có
kϕn+p−ϕnk ≤εn, (3.3.8)
với mọi p=1,2, ...Trong đóεn không phụ thuộc vào pvà lim
n→∞εn =0.
Do cách tính chuẩn (3.3.7) ta thấy rằngϕ1,ϕ2, ...cũng là một dãy Cauchy trong không gianC(không gian các hàm liên tục), nghĩa là tồn tại hàmϕ sao cho
lim
n→+∞max|ϕ−ϕn|=0
Hơn nữa, ta lại có
sup t1,t2∈Γ 1 |t2−t1|µ [ϕn+p(t2)−ϕn+p(t1)]−[ϕn(t2)−ϕn(t1)] ≤εn. Vì εn không phụ thuộc pnên từ đó suy ra
sup t1,t2∈Γ 1 |t2−t1|µ [ϕ(t2)−ϕ(t1)]−[ϕn(t2)−ϕn(t1)] ≤εn. Bất đẳng thức trên đây chứng tỏ rằng giá trị
sup t1,t2∈Γ
|ϕ(t2)−ϕ(t1)| |t2−t1|
là giới nội và hàmϕ(t)thuộc không gianH(µ). Mặt khác, vì lim
n→∞
kϕ−ϕnkH(µ)=0nênH(µ)là không gian đầy đủ.