3. CS LÝ THU YT
3.1. Lý thuy tLie
3.1.1. Khái n im nhóm Lie
Trong toán h c, đa t p tr n (smooth manifold) lƠ m t khơng gian topo nh ng có th đ c x p x tuy n tính b ng m t khơng gian vector t i t ng đi m. Ví d đi n hình v đa t p tr n chính lƠ nh ng siêu m t ph ng, siêu m t cong nhúng trong không gian đa chi u . T i m i đi m c a m t đa t p tr n luôn t n t i duy nh t m t không gian ti p tuy n , c ng chính lƠ x p x tuy n tính c a t i .
Hình 3.1. Ln t n t i m t khơng gian vector , ti p tuy n v i đa t p tr n t i đi m , x p x tuy n tính [50].
Trong tốn h c, nhóm (group) là m t t p h p đ c trang b m t phép h p (composition operation):
tho mãn các tiên đ sau :
• Tính k t h p: .
• Ph n t đ n v : .
• Ph n t ngh ch đ o: .
Phép đ c g i là phép h p (composition operation) trong và khơng có tính giao hoán. Ph n t đ n v c a m t nhóm b t kì đ u lƠ duy nh t. Tính duy nh t
14
Nhóm Lie (Lie group) lƠ m t đa t p tr n, trong đó các ph n t tho các tiên đ c a nhóm. Nhóm Lie v a th a h ng tính c c b c a đa t p tr n, qua đó cho phép ta th c hi n các phép tốn gi i tích, đ i s tuy n tính truy n th ng nh c ng tr vector xung quanh x p x tuy n tính, v a t n d ng tính toƠn c c c a nhóm đ th c hi n nhi u bi n đ i phi tuy n trên m t mi n xác đ nh r ng l n. M t phép toán b sung khá thơng
d ng trong nhóm Lie lƠ phép tác đ ng (action operation), cho phép ta chuy n đ i ph n t c a các t p h p khác. C th , phép tác đ ng c a m t nhóm Lie đ i v i t p lƠ m t ánh x :
tho mưn các tiên đ sau và :
• Ph n t đ n v : .
• Tính t ng thích: .