Tương tự như Mục 2.3.2 của Chương 2, trong mục này chúng tôi cũng đề cập đến một ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh (3.2) và (3.3) để tìm một nghiệm của bài toán (2.20). Ta có các định lí sau:
Định lí 3.9 Nếu dãy số dương {αn} thỏa mãn limn→∞αn = 0, thì dãy {xn} xác định bởi
N
X
i=1
Bi(xn) + αnxn = 0, n ≥ 0, (3.16)
hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc QSθ của bài toán (2.20), trong đó Bi = I − QSi, i = 1,2, ..., N, QS là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 3.10 Cho {un} là dãy được xác định bởi u0, u1 ∈ E và cn N X i=1 Bi(un+1) + αnun+1 +un+1 = un +γn(un − un−1), n ≥ 1. (3.17)
Nếu các dãy số {cn}, {αn} và {γn} thỏa mãn các điều kiện i) 0 < c0 < cn, αn > 0, αn → 0,|αn+1 − αn| α2 n → 0,P∞ n=0αn = +∞; ii) γn ≥ 0, γnαn−1kun − un−1k → 0,
thì dãy {un} hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc QSθ của bài toán (2.20), trong đó Bi = I − QSi, i = 1,2, ..., N, QS là một co rút không giãn theo tia từ E lên S.
24
KẾT LUẬN
Luận án đã đề cập đến những vấn đề sau:
- Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
- Nghiên cứu và thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của các phương pháp thu được.
- Nghiên cứu áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach. Đưa ra ví dụ số cụ thể minh họa cho các kết quả thu được.
Kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm:
- Đưa ra và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh và phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
- Đưa ra và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho bài toán xác định không điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach trơn đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
- Nghiên cứu và thiết lập các giả thiết đảm bảo cho tính ổn định của các phương pháp giải.
- Đưa ra một số ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh thu được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach và một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi, đó là bài toán giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Kim J. K., T. M. Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52).
2. Tuyen T. M. (2012), "Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J. Optim. Theory Appl., 152, pp. 351-365.
3. Hang N. T., Tuyen T. M. (2012), "A note on the paper: Regu- larization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J. Optim. Theory Appl., 155, pp. 723-725.
4. Tuyen T. M. (2012), "A Regularization proximal point algorithm for zeros of accretive operators in Banach spaces", Afr. Diaspora J. Math., 13 (2), pp. 62-73.
5. Tuyen T. M. (2012), "An other approach for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J. Nonl. Anal. Optim., 3 (2), pp. 207-220.