3 Tính cofinite cho trường hợp iđêan chính và chiều cao nhất
3.2 Chứng minh Định lý 0.0.3
Trong mục này ta giả thiết(R,m)là vành giao hoán địa phương Noether. Ta kí hiệu E(k) là bao nội xạ của R−môđun k = R/m. Kí hiệu D(K) = HomR(K, E(k)) là đối ngẫu Matlis của R−môđun K. Để chứng minh Định lý 0.0.3 ta cần một số kiến thức chuẩn bị dưới đây.
Bổ đề 3.2.1. Cho (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether và Rb
là vành đầy đủ của R theo tôpô m−adic. Lấy I là iđêan của R và K là
R−môđun. Khi đó HIi(K) là I−cofinite nếu và chỉ nếu Hi
IRb(K ⊗R Rb) là
IRb−cofinite. Chứng minh. Vì
ExtjR(R/I, HIi(K))⊗R Rb ∼= Extj b
R(R/Ib R, Hb Ii
b
R(K ⊗R Rb)),
nên ta chỉ cần chứng minh rằng một R−môđun N là hữu hạn sinh khi và chỉ khi N ⊗R Rb là hữu hạn sinh khi coi như một Rb−môđun. Nếu N là hữu hạn sinh thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Nếu N ⊗R Rb là hữu hạn sinh thì bằng cách sử dụng tính chất hoàn toàn phẳng của Rb, ta có thể chứng minh được rằng bất kì dãy tăng các môđun con của N phải là dãy dừng.
Định nghĩa 3.2.2. ([18]) Cho K là R−môđun. Một iđêan nguyên tố p
của R được gọi là nguyên tố đối liên kết củaK nếu p là một iđêan nguyên tố liên kết của D(K) = HomR(K, E(k)). Tập tất cả các iđêan đối liên kết của K là CoassR(K) hoặc Coass(K). Chú ý rằng Coass(K) = ∅ nếu và chỉ nếu K = 0.
Chú ý 3.2.3. ([21, Định lý 1.22]) Cho(R, m)là vành giao hoán địa phương Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh và K là R−môđun tuỳ ý. Khi đó
Thật vậy, ta có D(M ⊗R K) ∼= Hom(M, D(K)). Do đó
Coass(M ⊗R K) = Ass(Hom(M, D(K))) = Supp(M)∩Ass(D(K)) = Supp(M)∩Coass(K).
Chú ý 3.2.4. ([15, Định lý 3.33]) Cho(R,m)là vành giao hoán địa phương Noether chiều bằng d, I là iđêan của R và K là R−môđun. Khi đó
HId(K) ∼= K ⊗
R HId(R).
Bổ đề 3.2.5. ([5, Bổ đề 3]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether đầy đủ, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh chiều
n. Khi đó
CoassHIn(M) = {p ∈ V(Ann(M)) | dim(R/p) =n,pI +p = m}.
Chứng minh. Lấy S = R/Ann(M) và ES = Hom(S, E(k)). Ta thấy rằng HomS(HInS(M), ES) ∼= Hom R(HIn(M), ES) ∼ = HomR(HIn(M)⊗R S, E(k)) ∼ = HomR(HIn(M), E). Từ đó suy ra rằng CoassR(HIn(M)) = f(CoassS(HISn (M)))
với f : Spec(S)→Spec(R). Vì thế, ta có thể giả thiết rằng Ann(M) = 0 và n= dim(R). Theo Chú ý 3.2.3, 3.2.4, ta có
Coass(HIn(M)) = Coass(M ⊗R HIn(R)),
do đó ta chỉ cần chứng minh kết quả trong trường hợp M = R. Theo Định lý Hartshorne-Lichtenbaum [3, Định lý 8.2.1], cả hai tập trong bổ
đề là tập rỗng nếu HIn(R) = 0. Do đó ta giả thiết HIn(R) 6= 0. Lấy
q ∈ Coass(HIn(R)). Theo Chú ý 3.2.3, ta suy raq ∈ Coass(R/q⊗RHIn(R)).
Đặc biệt,R/q⊗RHIn(R) ∼= Hn
I(R/q) 6= 0. Vì vậy,n = dim(R/q)vàI+qlà
m−nguyên sơ (theo [3, Định lý 8.2.1]). Ngược lại, giả sử dim(R/q) =n và
√
I +q = m. Bằng lập luận đảo ngược trên ta thu được R/q⊗RHIn(R) 6= 0. Lấy p ∈ Coass(R/q ⊗R HIn(R)), theo Chú ý 3.2.3, p ⊇ q và p ∈
Coass(HIn(R)). Theo lập luận ở trên ta đã thấy rằng mọi iđêan nguyên tố đối liên kết củaHIn(R) đều có chiều là n, do đó nó là tối tiểu của R. Do đó dim(R/p) = dim(R/q) = n và p ⊇ q; suy ra q = p ∈ Coass(HIn(R)).
Dưới đây ta phát biểu lại Định lý 0.0.3 và đưa ra chứng minh.
Định lý 3.2.6. Cho (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh chiều n. Khi đó HIn(M) là
I−cofinite.
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.2.1 ta có thể giả sử R là đầy đủ. Giả sử Coass(HIn(M)) = {p1, . . . ,pk}.
Vì HIn(M) là Artin (theo [3, Định lý 7.1.6]), nên ta có D(HIn(M)) là môđun hữu hạn sinh (theo [3, Định lý 10.2.12]). Do đó
Supp(D(HIn(M)) = V(p1 ∩ ...∩pk)
Theo đối ngẫu Matlis ta thấy ExtiR(R/I, HIn(M)) có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu
D(ExtiR(R/I, HIn(M))) ∼= TorR
i (R/I, D(HIn(M)))
(theo [15, Theorem 11.57]) có độ dài hữu hạn. Vì TorRi (R/I, D(HIn(M))) là hữu hạn sinh, nên ta chỉ cần chứng minh tập giá của nó chứa trong
{m}. Ta có
Supp TorRi (R/I, D(HIn(M)))⊆ V(I)∩Supp(D(HIn(M))) = V(I)∩V(p1 ∩...∩pk) = V(I + (p1 ∩...∩pk)) = {m} (theo Bổ đề 3.2.5).
Kết luận
Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày lại và chứng minh chi tiết các kết quả:
+) Định lý 2.6 của Bahmanpour-Naghipour được trình bày trong bài báo "K. Bahmanpour, R. Naghipour (2009), Cofiniteness of local cohomol- ogy modules for ideals of small dimension, J. Algebra. 321, 1997-2011." (Định lý 0.0.1 trong luận văn).
+) Định lý 1 của K. Kawasaki được trình bày trong bài báo "K. I. Kawasaki (1998), Cofiniteness of local cohomology modules for principal ideals, Bull. London Math. Soc. 30, 241-246." (Định lý 0.0.2 Trong luận văn).
+) Định lý 3 của Delfino-Marley được trình bày trong bài báo "D. Delfino and T. Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology, J. Pure and Appl. Algebra. 121, 45-52." (Định lý 0.0.3 trong luận văn).
Kết quả chính của luận văn gồm các nội dung sau:
1. Hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả chính của luận văn. Kiến thức cơ sở được trình bày trong luận văn là: môđun Ext, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, Định lý triệt tiêu Grothendieck.
2. Trình bày “Tính cofinite cho trường hợp iđêan có chiều một” thông qua việc chứng minh chi tiết Định lý 0.0.1 trong luận văn. Trình bày một số hệ quả quan trọng của định lý này.
3. Trình bày “Tính cofinite cho trường hợp iđêan chính và chiều cao nhất” thông qua việc chứng minh chi tiết Định lý 0.0.2 và 0.0.3.
Tài liệu tham khảo
[1] K. Bahmanpour, R. Naghipour (2008), "On the cofiniteness of local cohomology modules", Proc. Amer. Math. Soc. 136, 2359-2363.
[2] K. Bahmanpour, R. Naghipour (2009), "Cofiniteness of local cohomol- ogy modules for ideals of small dimension",J. Algebra.321, 1997-2011. [3] M. P. Brodmann, R.Y. Sarp (1998), "Local Cohomology; An Algebraic Introduction with Geometric Applications", Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[4] D. Delfino (1994), "On the cofiniteness of local cohomology modules", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.115, 79-84.
[5] D. Delfino and T. Marley (1997), "Cofinite modules and local coho- mology", J. Pure and Appl. Algebra. 121, 45-52.
[6] A. Grothendieck, "Cohomologie locale des faisceaux coherents et theo- rems de Lefschetz locaux et globaux " (SGA 2). (North Holand (1968). [7] R. Hartshorne (1970), "Affine duality and cofiniteness",Invent. Math.
9, 145-164.
[8] C. Huneke, J. Koh (1991), "Cofiniteness and vanishing of local coho- mology modules", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 110, 421-429. [9] K. I. Kawasaki (1998), "Cofiniteness of local cohomologu modules for
principal ideals", Bull. London Math. Soc. 30, 241-246.
[10] I. G. Macdonald (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica. 11, 23-43.
[11] H. Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Uni- versity press.
[12] L. Melkersson (1990) , "On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 107, 267-271.
[13] L. Melkersson (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J. Algebra. 285, 649-668.
[14] L. T. Nhan (2005), "On generalized regula sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules", Comm. Algebra 33, 793-806.
[15] J. Rotman, "An Introduction to Homological Algebra" (Academic Press, Orlando, FL, 1979).
[16] R. Y. Sharp (1981), "On the attached prime ideals of certain Artinian local cohomology modules", Proc. Edinburgh Math. Soc. 24.
[17] R. Y. Sharp (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour", in: Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, 443- 465.
[18] S. Yassemi (1994), "Generalized section functors", J. Pure Appl. Al- gebra 95, 103-119.
[19] K. I. Yoshida (1997), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideal of dimension one", Nagoya Math. J. 147, 179-191.
[20] H. Zoschinger (1986), "Minimax modules", J. Algebra. 102, 1-32. [21] W. Vasconcelos, "Divisor theory in module categories" (North-