Một trong những cách giải bài toán tồn tại là dùng lập luận phản chứng: giả thiết điều chứng minh là sai, từ đó dẫn đến mâu thuẫn.
Ví dụ 1. Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng ta luôn luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép lại thành một tam giác.
Giải: Điều kiện cần và đủ để 3 đoạn là cạnh của một tam giác là tổng của hai cạnh phải lớn hơn một cạnh. Ta sắp các đoạn thẳng theo thứ tự tăng dần của độ dài a1, a2, . . ., a7 và chứng minh rằng dãy đã xếp luôn tìm được 3 đoạn mà tổng của hai đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối. Để chứng minh, ta giả sử không tìm được ba đoạn nào mà tổng của hai đoạn nhỏ hơn một đoạn, nghĩa là các bất đẳng thức sau đồng thời xảy ra:
a1 + a2 a3 a3 20 (vì a1 , a2 10 ) a2 + a3 a4 a4 30 (vì a2 10 , a3 20) a3 + a4 a5 a5 50 (vì a3 20, a 4 30 ) a4 + a5 a6 a6 80 (vì a4 30 , a5 50) a5 + a6 a7 a7 130 (vì a5 50, a6 80) Mâu thuẫn (bài toán được giải quyết).
Ví dụ 2. Các đỉnh của một thập giác đều được đánh số bởi các số nguyên 0, 1, . . , 9 một cách tuỳ ý. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh liên tiếp có tổng các số là lớn hơn 13.
Giải : Gọi x1, x2, . ., x10 là các số gán cho các đỉnh của thập giác đều. Giả sử ngược lại ta không tìm được 3 đỉnh liên tiếp nào thoả mãn khẳng định trên. Khi đó ta có
k1 = x1 + x2 + x3 13 k2 = x2 + x3 + x4 13 k3 = x3 + x4 + x5 13 k4 = x4 + x5 + x6 13 k5 = x5 + x6 + x7 13 k6 = x6 + x7 + x8 13 k7 = x7 + x8 + x9 13 k8 = x8 + x9 + x10 13 k9 = x9 + x10 + x1 13 k10 = x10 + x1 + x2 13 130 k1 + k2 + . . . + k10 = 3 (x1+ + x2 + . . .+ x10) = 3 ( 0 + 1 + 2 + . . . + 9)
= 135 Mâu thuẫn vì một số bằng 135 không thể hơn 130. Khẳng định chứng minh.