vào THPT chuyên
Bài 1: (THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2012 – 2013, chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2013 - 2014)
Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng khơng có ước số ngun tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.
Giải:
Gọi các số đã cho là a, a2, a3, a4, a5. Vì các số này khơng có ước số ngun tố nào khác 2 và 3 nên các số này đều có dạng 2 .3xi yi
i
a với xi và yi là các số tự nhiên.
Xét 5 cặp số (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3), (x4; y4), (x5; y5). Mỗi cặp số này nhận một trong 4 trường hợp sau : (số chẵn, số chẵn), (số chẵn, số lẻ), (số lẻ, số chẵn), (số lẻ, số lẻ) nên theo ngun lí Đi-rich-lê thì có ít nhất 2 cặp số trên nhận cùng một dạng giá trị.
Khơng mất tính tổng qt khi giả sử (x1; y1), (x2; y2),cùng nhận giá trị dạng (số chẵn, số lẻ) khi đó x1 + x2 và y1 + y2 đều là số chẵn nên :
1 1 2 2 1 2 1 2
1. 2 2 .3 .2 .3x y x y 2x x.3y y
a a là một số chính phương. Ta có điều phải chứng minh
Cho lưới ô vuông kích thước 5 5 . Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số sau : 1; 0; -1. Xét tổng của các số được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó ln tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.
Giải
Có tất cả 12 tổng (5 tổng theo cột, 5 tổng theo hàng và 2 tổng theo đường chéo) và mỗi tổng có 5 số hạng.
Do mỗi tổng đều có 5 số hạng, mỗi số hạng chỉ nhận một trong các giá trị hoặc 1hoặc 0; hoặc -1 nên giá trị của mỗi tổng là một số nguyên Si (i = 1, 2, 3, 4, 5,…, 12) thỏa mãn 5 Si5 .
Vậy Si có thể nhận một trong mười một giá trị -5; -4; …;0; 1; 2;….; 5.
Theo ngun lí Đi-rich-lê có ít nhất hai tổng nhận cùng một giá trị. Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý : Ta có thể thay hình vng 5 5 bằng hình vng n n bất kì
Bài 3(Chun Tốn Tin ĐHKHTN – ĐHQG Hà nội năm học 2005 - 2006)
Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) ln có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang.
Bài 4: (Chuyên ĐHKHTN Hà Nội 1999 - 2000)
Cho hình tron tâm O có bán kính bằng 1. Giả sử A1, A2, …, A8 là 8 điểm bất kì
nằm trong hình trịn (kể cả biên). Chứng minh rằng trong các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.
Bài 5: (Chuyên Amsterdam 2003 - 2004)
Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác là 1. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diên tích khơng vượt q 1
10 .
Hãy tổng quát bài toán cho n giác lồi (n > 2) với n điểm thuộc miền trong đa giác.
Bài 6: (Chuyên Toán ĐHSP Thành phố HCM năm học 2008 - 2009)
Trong hình vng có cạnh bằng 4 lấy 33 điểm phân biệt. Chứng minh rằng có 3 điểm nằm trong phần chung của ba hình trịn có cùng bán kính là 2
Bài 7: (Chun ĐHKHTN Hà Nội 2011 - 2012)
Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên N. Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x1 ) luôn tồn tại a, b cũng thuộc A sao cho x = a + b ( a có thể bằng b). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất.
Bài 8: (Chuyên Hưng Yên 2012 - 2013)
Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vịng trịn một lượt (hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) ln tìm được ba đội bóng đơi một chưa thi đấu với nhau.
b) Khẳng định trên cịn đúng khơng nếu các đội đã thi đấu 5 trận?
Bài 9: (Chuyên Amsterdam, chuyên Chu Văn An Hà nội 2012 – 2013)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có bán kính 2 cm. Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1, A2, …, A17 bất kì nằm trong tứ giác ABCD ln có thể tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó khơng lớn hơn 1 cm.