rằng nhiệt được tỏa ra tức thời tại thời điểm t = 0 trong mơi trường lớn vơ tận có nhiệt
độ ban đầu T0 xuyên qua một mặt phẳng đối với trường hợp dẫn nhiệt theo một hướng; dọc theo một đường thẳng đối với trường hợp dẫn nhiệt 2 chiều hoặc tại một điểm cho trường hợp dẫn nhiệt 3 chiều. Phương trình truyền nhiệt tổng quát trong môi trường vật rắn được thể hiện qua Phương trình (2.20) như sau:
[𝜕2𝑇 𝜕𝑥2+𝜕2𝑇 𝜕𝑦2+𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 ] = 1 𝑎 𝜕𝑇 𝜕𝑡 (2.20)
Phương trình (2.20) có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ trụ (r,,z) như Phương trình (2.21) sau: [𝜕2𝑇 𝜕𝑟2+1 𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟+ 1 𝑟2 𝜕2𝑇 𝜕2 +𝜕2𝑇 𝜕𝑧2 ] = 1 𝑎 𝜕𝑇 𝜕𝑡 (2.21)
Có 5 điều kiện ban đầu và điều kiện biên tiêu biểu đặc trưng cho các phương trình vi phân dẫn nhiệt như sau:
1. Nhiệt độ bề mặt cho trước: T(x,y,z) = f (x,y,z,t)
2. Năng lượng nhiệt cung cấp cho trước: k 𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)/ 𝜕𝑛 = g(x,y,z,t) với n là vectơ đơn vị vng góc với bề mặt.
3. Bề mặt cách nhiệt hoàn hảo 𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)/ 𝜕𝑛 = 0
4. Đối lưu tại bề mặt k 𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)/ 𝜕𝑛 = h [T0 – T (x,y,z,t)] trong đó h là hệ số màng dẫn nhiệt bề mặt.
5. Hai vật rắn tiếp xúc nhau T1(x,y,z) = T2(x,y,z) và k1𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)/ 𝜕𝑛 = k2 𝜕𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)/ 𝜕𝑛 với T1, T2 là nhiệt độ tại các bề mặt tiếp xúc và k1, k2 là các hệ số
dẫn nhiệt tương ứng của hai vật tiếp xúc nhau.
Trong phạm vi nghiên cứu của luận án sẽ đề cập chủ yếu đến các nguồn nhiệt hàn, trong đó bỏ qua tác dụng của sự bức xạ và đối lưu nhiệt tới môi trường xung quang do chúng chiếm tác dụng không đáng kể so với sự dẫn nhiệt bên trong vật thể. Do đó trong phân tích nhiệt, ln án sẽ nhấn mạnh nhiệt độ ban đầu bằng không, năng lượng đường cho trước và điều kiện biên cách nhiệt hoàn hảo (nguồn [40])
Nguồn nhiệt khối dạng elipsoid đơn và kép
Nguồn nhiệt khối dạng elipsoid đơn
Godark và cộng sự (nguồn [40]) đã từng đưa ra mơ hình nguồn nhiệt khối bán elipsoid đơn, trong đó mật độ nhiệt tuân theo quy luật phân bố Gauxơ trong tồn bộ thể tích nguồn nhiệt. mật độ nhiệt Q(x,y,z) tại điểm bất kì (x,y,z) bên trong khối bán elipsoid này được biểu diễn bởi phương trình:
Q(x,y,z) =𝑄𝑚𝑎𝑥.exp(−3𝑥2
𝑐ℎ2 −3𝑦2
𝑎ℎ2 −3𝑧2
𝑏ℎ2) (2.22) Trong Phương trình (2.22), ah, bh, ch là các thơng số hình học nguồn nhiệt, xem Hình 2.46 , với giả thiết (chf = chb = ch).
Tương tự như vậy, nếu Q là tổng lượng nhiệt do nguồn nhiệt này tỏa ra, điều kiện cân bằng đối với lượng nhiệt tỏa ra vật vô hạn là:
Q = 𝑄𝑚𝑎𝑥∫ 𝑒− 3𝑥2 𝑐ℎ2𝑑𝑥 ∞ −∞ ∫ 𝑒− 3𝑦2 𝑎ℎ2 𝑑𝑦 ∞ −∞ ∫ 𝑒− 3𝑧2 𝑏ℎ2𝑑𝑧 ∞ −∞ = 𝑄𝑚𝑎𝑥𝑎ℎ𝑏ℎ𝑐ℎ𝜋√𝜋 6√3 (2.23) Viết theo cách khác: 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 6√3𝑄 (2.24)
Thay Phương trình (2.24) vào Phương trình (2.22), phương trình cho nguồn nhiệt elipsoid đơn trong vật bán vô hạn sẽ là:
Q(x,y,z) = 6√3𝑄
𝑎ℎ𝑏ℎ𝑐ℎ𝜋√𝜋. exp(−3𝑥2
𝑐ℎ2 −3𝑦2
𝑎ℎ2 −3𝑧2
𝑏ℎ2) (2.25) Với nguồn nhiệt hàn hồ quang, Q = 𝜇.U.I, trong đó U là điện áp hồ quang, I là cường độ dòng điện hàn và 𝜇 là hiệu suất hàn hồ quang.
Goldak và các cộng sự, từ kinh nghiệm nghiên cứu loại nguồn nhiệt này, đã chỉ ra rằng khi sử dụng chúng để tính tốn biến thiên nhiệt độ ở phía trước hồ quang, kết quả nhận được nhỏ hơn so với thực tế. Trong khi đó, tính toán biến thiên nhiệt độ ở phía sau hồ quang lớn hơn kết quả đo thực tế. Để khắc phục nhược điểm này của nguồn nhiệt elipsoid đơn nói trên, các tác giả đã kết hợp hai nguồn nhiệt elipsoid đơn lại thành một một nguồn nhiệt và đặt tên là “Nguồn nhiệt elipsoid kép”, xem Hình 2.46 . Nguồn nhiệt này sẽ được đề cập sau ở các mục tiếp theo.
Nguồn nhiệt khối dạng elipsoid kép
Nguồn nhiệt có mật độ phân bố elipsoid kép được xác định bằng cách phối hợp hai khối bán elipsoid khác nhau để tạo thành một nguồn nhiệt, còn gọi là nguồn nhiệt elipsoid kép. Mật độ nhiệt bên trong từng khối bán elipsoid được mô tả bằng hai phương trình riêng. Đối với một điểm bất kì (x,y,z) bên trong khối bán elipsoid đầu tiên (nằm phía trước hồ quang hàn), mật độ nguồn nhiệt được biểu diễn bởi phương trình: Q(x,y,z) = 6√3𝑟𝑓𝑄 𝑎ℎ𝑏ℎ𝑐ℎ𝑓𝜋√𝜋. exp(−3𝑥2 𝑐ℎ𝑓2 −3𝑦2 𝑎ℎ2 −3𝑧2 𝑏ℎ2) (2.26) Đối với một điểm bất kì (x,y,z) bên trong khối bán elipsoid thứ hai (nằm phía sau hồ quang hàn), mật độ nguồn nhiệt được biểu diễn bởi phương trình:
Q(x,y,z) = 6√3𝑟𝑏𝑄
𝑎ℎ𝑏ℎ𝑐ℎ𝑏𝜋√𝜋. exp(−3𝑥2
𝑐ℎ𝑏2 −3𝑦2
𝑎ℎ2 −3𝑧2
𝑏ℎ2) (2.27) Trong hai công thức trên, ah, bh, chf và chb là các thông số hình học của nguồn nhiệt khối elipsoid kép, xem Hình 2.46 ; Q là công suất của nguồn nhiệt và rf, rb là