Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
2.1. Đặt bài toán
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài tốn elliptic suy biến nửa tuyến tính sau trên miền bị chặnΩ ⊂RN, N ≥2,
−∆λu = f(x, u), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ ∂Ω, (2.1)
trong đó số hạng phi tuyến f(x, u) có tăng trưởng dưới tới hạn và thỏa mãn các giả thiết sau:
(f1) f : Ω×R →R là hàm liên tục và f(x,0) = 0 với mọi x ∈ Ω; (f2) lim
|u|→+∞
F(x, u)
u2 = +∞ đều theo x ∈ Ω, trong đó F(x, u) =
u
R
0
(f3) lim sup
|u|→0
2F(x, u)
|u|2 < µ1 đều theo x ∈ Ω, trong đó µ1 là giá trị riêng đầu tiên của tốn tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất; (f4) Tồn tại các hằng số C∗ ≥ 0 và θ ≥ 1 sao cho
H(x, t) ≤ θH(x, s) +C∗ ∀t, s ∈ R,0< |t| < |s|, ∀x ∈ Ω, với H(x, u) = 1
2uf(x, u)−F(x, u);
(SCPI) f có tăng trưởng đa thức dưới tới hạn Ω, tức là lim
|s|→+∞
f(x, s)
|s|2∗λ−1 = 0, 2∗λ = 2Q
Q−2, Q > 2
ở đó Q là kí hiệu của số chiều thuần nhất của RN ứng với nhóm co dãn {δt}t>0.
Nhận xét 2.1. Trong bài tốn (2.1) chúng tơi khơng yêu cầu số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện (AR), tức là
(AR) ∃R0 > 0, θ > 2 sao cho
0 < θF(x, s) ≤ sf(x, s), ∀|s| ≥ R0,∀x ∈ Ω.
Một ví dụ về hàm f thỏa mãn các điều kiện (f1)−(f4) và (SCPI) ở trên nhưng không thỏa mãn điều kiện (AR) là hàm
f(x, s) =slog(1 +|s|).
Bây giờ chúng tôi so sánh các điều kiện của chúng tôi với các điều kiện trước đó. Vì điều kiện (AR) kéo theo điều kiện yếu hơn
F(x, s) ≥ c|s|θ −d c, d > 0, x ∈ Ω, s > 0, θ > 2, (2.2) và điều kiện (2.2) này kéo theo điều kiện yếu hơn (f2). Hơn nữa, điều kiện (f2) là hệ quả của tính trên tuyến tính của f tại ∞, tức là
lim
|s|→+∞
f(x, s)
Điều kiện này thường được sử dụng trong nhiều nghiên cứu, hơn nữa, điều kiện (f4) là yếu hơn điều kiện sau được sử dụng trong [50]:
Tồn tại s0 > 0 sao cho f(x, s)
s là tăng theo s ≥ s0,∀x ∈ Ω.
Để thay thế điều kiện (AR) trên số hạng phi tuyến với tăng trưởng đa thức, trong [75] các tác giả sử dụng giả thiết
H(x, s) tăng theo s, ∀x ∈ Ω, sf(x, s) ≥ 0,∀s ∈ R, sf(x, s) ≥ C0|s|µ, ∀|s| ≥ s0 > 0,∀x ∈ Ω,
ở đó µ > 2 và C0 > 0 để thay thế điều kiện (AR), rõ ràng, điều kiện này là mạnh hơn điều kiện của chúng tôi. Mặt khác, trong [62], Schechter và Zou giả thiết rằng
H(x, s) lồi theo s, x ∈ Ω, hay tồn tại các hằng số C > 0, µ > 2 và r ≥ 0 sao cho
µF(x, t)−tf(x, t) ≤ C(1 +t2), |t| ≥ r.
Như đã được chú ý trong [50], điều kiện này thực tế là tương đương với điều kiện (AR), và rõ ràng điều kiện dựa trên tính lồi của hàm H là mạnh hơn điều kiện(f4) của chúng tơi. Thật vậy, vì H(x, s) là hàm tựa đơn điệu theo s < 0 và s > 0, hay là một hàm lồi trên R thì H thỏa mãn điều kiện (f4) với θ = 1. Như vậy, các điều kiện trên số hạng phi tuyến ở đây là mở rộng cho các kết quả tương ứng trước đó trong [39] khi điều kiện (AR) không được áp đặt trên số hạng phi tuyến và cải tiến, mở rộng các kết quả cho trường hợp toán tử Laplace trong [44, 50] tới trường hợp tăng trưởng (SCPI).
Tiếp theo, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (2.1).
bài toán (2.1) nếu Z Ω ∇λu∇λϕ dx = Z Ω f(x, u)ϕ dx, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω).
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1), ta sử dụng phương pháp biến phân. Trước hết, ta định nghĩa phiếm hàm Euler- Lagrange liên kết với bài tốn (2.1) như sau
Jλ(u) = 1 2 Z Ω |∇λu|2dx− Z Ω F(x, u)dx,
trong đó F(x, u) = R0uf(x, s)ds. Nhờ các giả thiết đặt trên f, ta có thể thấy rằng Jλ là xác định trên không gian
◦
W1,2λ (Ω) và Jλ ∈ C1(
◦
W1,2λ (Ω),R) với đạo hàm xác định bởi
Jλ0(u)v = Z Ω ∇λu∇λvdx− Z Ω f(x, u)vdx, ∀v ∈ W◦ 1,2λ (Ω).
Khi đó, các điểm tới hạn của Jλ là các nghiệm yếu của phương trình (2.1), và do đó ta có thể sử dụng Định lí qua núi 1.1 để chứng tỏ sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1).