II. Các bài toán liên quan đến thiết diện
c. Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Giải:
a. Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M và AC, qua M kẻ đường thẳng và song song với AC cắt BC tại N. Mặt phẳng (ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường thẳng và song song với BD cắt AD tại Q tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP, QP thiết diện là hình bình
hành MNPQ. N P Q M B C D A
b. MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ. MN // AC nên
Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*).
c. Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ khơng đổi, giả sử là .
Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất.
Mà MA + MB = AB khơng đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay M là trung điểm AB.
Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác
vng tại A. M là điểm bất kì thuộc AD (khác A. D). Xét mặt phẳng (P) qua M song song SA. CD.
a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a. b với AB = a. SA = b và M là trung điểm AB.
Giải:
a. Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung, (P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song song với SA cắt SD tại Q. Tương tự qua M kẻ đường thẳng và song song với CD cắt BC tại N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ.
Có MN //PQ // CD // AB. MQ // SA. SA AB nên thiết diện là hình thang vng tại M, Q. Q P N A D B S C M b. có MN = a. MQ = = PQ nên .
Ví dụ 24: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a. Gọi M là
điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vng góc với AA’. Đặt AM = x ( ).
a. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P) b. Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x. Tìm x để thiết diện đó lớn nhất.
Giải:
a. Theo giả thiết M thuộc OA’. Ta có SO (ABC)
SO AA’, tam giác ABC đều
nên BC AA’. Vậy (P) qua M
song song với SO và BC.
Xét (P) và (ABC) có M chung. Do (P) // BC nên kẻ qua M đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại E, F.
Tương tự kẻ qua M đường thẳng song song với SO cắt SA’ tại N, qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, Q.
FE E G H N A' O A B C S M
Ta có thiết diện là tứ giác EFGH.
b. Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang cân đáy HG, EF. Khi đó:
Ta có MN = và
đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng khi .
Ví dụ 25:(Tham khảo đề thi ĐH khối B 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm
điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Giải:
Gọi O là tâm hình lập phương và E là tâm đáy ABCD. Đặt AB = a.
Do các mặt đối diện của hình lập phương song song nên (BD’M) cắt các mặt bên theo các giao tuyến song song. Thiết diện là hình bình hành BMD’N. Kẻ MH BD’. Ta có: SBMD’N = 2SBMD’ = BD’.MH N F E O D' A' C' D B C A B' M H
Có BD’ = Smin MHmin. Do BD’ và AA’ chéo nhau nên MH ngắn nhất khi
và chỉ khi MH là đoạn vng góc chung của AA’ và BD’.
Cách xác định MH: Ta có AE (BB’D’D) nên AE BD’, AA’ (ABCD) nên AA’
AE. Từ O kẻ OF // AE (F AA’) thì OF chính là đoạn vng góc chung của AA’ và
Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B.
AB = c, BC = a. cạnh bên AA’ = h trong đó h2 > a2 + c2. Một mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với CA’.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp (P). b. Tính diện tích thiết diện.
Giải:
a. Kẻ AE CA’ (E CC’).
Do h2 > a2 + c2 nên E thuộc đoạn CC’. Kẻ BH AC ta có BH (ACC’A’) BH A’C.
Mp (P) chứa AE và song song với BH.
Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng qua A và song song với BH cắt BC tại I, nối IE cắt BB’ tại F, nối AF ta có thiết diện là tam giác AEF.
F E E I H A B C C' B' A'
Gọi là góc giữa (AEF) và (ABC). Ta có ABC là hình chiếu vng góc của
AEF trên mp(ABC). Do vậy:
Ta có ngồi ra (cùng phụ với góc A’CA) ; SABC =
Vậy SAEF = .
Ví dụ 27: (ĐH SP Vinh năm 1997) Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB =
2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A. Lấy S’ đối xứng với S qua A. gọi M là trung điểm SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt
phẳng (P) đi qua S’, M song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích thiết diện đó khi SA = .
Giải:
+ Dựng thiết diện: Trong tam giác SAC nối S’M cắt AC tại N.
Do (P) // BC nên (P) cắt (ABC) theo giao tuyến qua N và song song với BC cắt AB tại P. Tương tự (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua M và song song với BC cắt SB tại Q. Thiết diện là tứ giác MNPQ. Q P N E M A B C S S'
Do tam giác ABC vuông cân tại C nên BC AC, BC SA BC (SAC) BC
MN. Ta có MNPQ là hình thang vng.
+ Tính diện tích thiết diện:
Xét tam giác SCS’ có S’M, CA là trung tuyến nên N là trọng tâm tam giác SCS’. Xét tam giác ACB vuông cân tại C suy ra .
Từ NP // BC ta có
Từ MQ // BC và M là trung điểm SC nên
.
Gọi E là trung điểm AC ta có ME // SA
Vậy .
Ví dụ 28: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a. cạnh bên . Xét đường thẳng d đi qua A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua d và C’.
a. Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a.
b. Tính góc giữa (P ) và (ABCD).
Giải:
a. Gọi I, J là giao điểm của d và CD, BC,
Thiết diện là tứ giác AMC’N. Ta có tứ giác AMC’N là hình bình hành và M, N là trung điểm của BB’, DD’.
Từ đó suy ra AN=NC’ kết hợp AMC’N là hình bình hành nên thiết diện là hình thoi.
,
.
b. Ta có tứ giác ABCD là hình chiếu của tứ giác AMC’N trên (ABCD) gọi là góc
giữa (P) và (ABCD) theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có: Mà SABCD = a2, SAMC’N = 2a2 .
Ví dụ 29: (CĐSP Quảng Ninh B 2005) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a.
chiều cao SO = . Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vng góc với SC. Tính diện tích thiết diện vừa dựng.
Giải: M J I N C' C A B D D' B' A'
MN N E O C A D B S H *) Ta có
(P) là mặt phẳng qua A và song song với BD
Trong tam giác SAC kẻ AH SC, AH cắt SO tại E.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N. Nối AM, AN, MH, NH được thiết diện là tứ giác AMHN.
*) Do BD (SAC) MN (SAC) MN AH. Ta có: SAMHN = MN.AH.
Ta có: nên tam giác SAC đều suy ra H là trung điểm SC và E là trọng tâm tam giác SAC
Mặt khác AH là đường cao của tam giác đều cạnh nên
Vậy SAMHN = .
Ví dụ 30: (ĐH Huế năm 1998 khối A) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh
đáy bằng 2a và chiều cao a.
b. Tính diện tích của thiết diện nói trên.
Giải:
a. Gọi E là trung điểm AC ta có:
(P) là mặt phẳng qua B’ và song song với BE.
Gọi E’ là trung điểm A’C’ ta có
(P) (A’B’C’) = B’E’. Gọi M là trung điểm AE. Ta chứng minh E’M vng góc A’C.
Thật vậy: Gọi O là giao điểm EE’ và A’C. O N M E' E A B C C' B' A'
Ta có EE’ = A’E’ = a. OE’ = ME = nên (cgc)
Mà
Suy ra: E’M A’C hay (P) (AA’C’C) = E’M. Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB tại N. Thiết diện là hình thang MNB’E’.
b. Do BE (ACC’A’) NM (ACC’A’) MN ME Suy ra MNB’E’ là hình thang vng chiều cao ME’.
Ta có : BE = (đường cao tam giác đều cạnh 2a)