+ Trường hợp 1: n chia hết cho 3, khi đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3 + Trường hợp 2: n chia cho 3 dư 1, khi đó n – 1 chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3
+ Trường hợp 3: n chia cho 3 dư 2, khi đó n + 1 chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3
Vậy trong mọi trường hợp n3 – n chia hết cho 2 và 3 Do 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
Suy ra : n3 – n chia hết cho 2 . 3 = 6
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc Giải:
a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3 a3 + b3 + c3 = 3abc
Cách 2: a + b + c = 0 a + b = - c - ab(a + b) = abc
- a2b – ab2 = abc Tương tự: - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc Do đó: 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b) 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc Cách 3: a + b + c = 0 a + b = - c - c2(a + b) = c3 -a2c – bc2 = c3 Tương tự: - ab2 – cb2 = b3 ; - ba2 – ca2 = a3 Do đó: - ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3 - ac(c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3 - ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3
a3 + b3 + c3 = 3abc
* Các bài tập tương tự
* Bài tập áp dụng chung
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức a) x2 + với x = 49,75
b) x2 – y2 – 2y – 1 với x = 93, y = 6 Bài 2: Tính nhanh
a) 732 – 272 b) 372 – 132 c) 20022 – 22 d) 872 +732 - 272 -132 e) 85.12,7 + 5.3.12,7 f) 52.143 - 52.39 - 8.26
a) M = (a + 4)2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)2 với a = 1982 b) N = x2 – xy – 3x + 3y với x = 5,1; y = 3,1
Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau a) 15.91,5 + 150.0,85
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) , với x = 2010; y = 2011; z = -1.
c)
Bài 5: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2000, y = 1999 Bài 6: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n Bài 7: Tìm x, biết : a) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 b) x + 1 = (x+1)2 c) x3 + x = 0 d) x2 - 10x = -25 e) 4x2 - 4x = -1 f) 8x3 +12x2 + 6x +1 = 0 g) 2(x+5) - x2 - 5x = 0 h) x2 - 2x - 3 = 0 k) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0 m) 4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = 0 n) (5x2 + 3x – 2)2 = (4x2 – 3x – 2)2
* Bài tập dành riêng cho đối tượng khá giỏi
Bài 8: Chứng minh rằng :
a) Bình phương của một số lẻ chia cho 4 thì dư 1 b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8 thì dư 1 Bài 9:
a) Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
b) Chứng minh hiệu các bình phương của hai số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 16
Bài 10: Chứng minh rằng
a) Biểu thức : 4x(x + y) (x + y + z)(x + y) y2z2 luôn luôn không âm với mọi giá trị của x, y và z
b) Với mọi số nguyên n thì số A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 105 Bài 11: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A = 20n + 16n - 3n - 1 chia hết cho 323
Bài 12: Cho ba số phân biệt a, b, c . Chứng minh rằng biểu thức: A = a4 (b – c)+ b4 (c – a) + c4(a – b) luôn khác 0
2.4. Hiệu quả của SKKN
Với nội dung SKKN trên tôi đã áp dụng cho học sinh lớp 8, Trường THCS Ba Cụm Bắc trong các tiết dạy tự chọn.
Kết quả đạt được sau khi tiến hành thực nghiệm: Tiến hành kiểm tra 1 tiết (Tự chọn)
Tổng HS Kết quả điểm sau khi vận dụng sáng kiến
36 0 - < 3 đ 3 đ - < 5 đ 5 - < 8 đ 8 – 10đ Số lượng % Số lượng % Số lượng % Số lượng %
1 2,8 3 8,3 26 72,2 6 16,7
Kết quả trên cho thấy mức điểm của học sinh có chiều hướng tích cực. Sau khi vận dụng SKKN thì số lượng học sinh có mức điểm 0 - < 3 đ giảm 11,1 %; học sinh có mức điểm 3 đ - < 5 đ giảm 16,7 %; học sinh có mức điểm 5 - < 8 đ tăng 13,9 %; học sinh có mức điểm 8 - 10 đ tăng 13,9 % so với số học sinh cùng mức điểm trước khi vận dụng SKKN. Thơng qua q trình học tập, cụ thể là bài kiểm tra 1 tiết tự chọn tôi thấy học sinh nắm vững các kiến thức, biết được phương pháp để thực hiện bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đa số học sinh biết được nguyên nhân dẫn đến các lỗi sai thường gặp về quy tắc biến đổi để chỉnh sửa và trình bày bài giải có hệ thống và logic hơn. Học sinh tích cực tìm hiểu phương pháp giải vận dụng vào các dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ năng giải nhanh các bài tốn có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài tốn mới. Tuy nhiên cũng cịn một số em quá yếu, kém nên chưa thực hiện tốt.
3. Kết luận3. Kết luận 3. Kết luận
* Kết quả đạt được * Kết quả đạt được
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các phương pháp giải ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh yếu, học sinh trung bình định hướng được phương pháp cụ thể để áp dụng vào bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình, rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức thông qua chuỗi bài tập vận dụng, đề nghị. Bên cạnh đó cịn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tiếp xúc, thực hiện nhiều dạng toán vận dụng việc phân tích đa thức, tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán nâng cao hơn, nhằm phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo của học sinh trong học tốn. Qua đấy tơi càng thấy rõ hơn việc giúp học sinh phát hiện các phương pháp để thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là vấn đề thật sự quan trọng và rất cần thiết.
* Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu SKKN và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
Đối với học sinh yếu kém: Là một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.
Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
4. Kiến nghị đề xuất