A. Kiến thức cần nhớ.
Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn. Các bài toán này rất độc đáo đòi hỏi học sinh phải có óc phán đoán và suy luận thật hợp lý. Bước đầu làm quen với phương pháp đánh giá giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, cần ghi nhớ các điều sau:
1) Để giải phương trình f(x,y,...,z) = 0, ta có thể chứng minh f(x,y,...,z) ≥ 0 hoặc f(x,y,...,z) ≤ 0 và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu đẳng thức.
2) Có thể thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng rồi chứng minh ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác nữa.
B. Ví dụ.
Bài 1: Giải phương trình: x2 −2x+5+ x−1=2
Giải: Điều kiện x≥1.
Nhận xét rằng: VT = x2 −2x+5+ x−1= (x−1)2 +4+ x−1≥2. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 ⇔ x−1=0⇔ x=1.
Bài 2. Giải bất phương trình: x− x2 −1+ x+ x2 −1≤2. Giải: Điều kiện x≥1.
Nhận xét rằng: VT = x− x2 −1+ x+ x2 −1 ≥24 x− x2 −1.4 x+ x2 −1 =2. ( vì a2 +b2 ≥2ab ).
Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2 ⇔4 x− x2 −1 =4 x+ x2 −1 ⇔ x=1. Vậy nghiệm của bất phương trình là x=1.
Bài 3. Giải phương trình: x−22008 + x−32009 =1. (1) Giải: Nhận thấy x = 2, hoặc x = 3 thoả mãn phương trình (1).
. Nếu x>3⇒x−2>1⇒VT >VP=1. Vậy phương trình (1) không có nghiệm x>3. . Nếu x<2⇒3−x>1⇒VT >VP=1. Vậy phương trình (1) không có nghiệm x<2.
. Nếu 2<x<3⇒0<x<1;0<3−x<1⇒(x−2)2008 < x−2;(3−x)2009 <3−x⇒VT <VP=1
Vậy phương trình (1) không có nghiệm 2<x<3.
Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: S ={ }2;3 .
Chú ý:
Khi giải toán chứng minh bất đẳng thức thường gặp những sai lầm của học sinh. I. Những sai lầm thường gặp.
1). Trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều: a > b và c > d ⇒ a - c > b - d.
2). Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm: a > b và c > d ⇒ac > bd.
3). Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà không có giả thiết hai vế không âm: a > b ⇒ a2 > b2.
4). Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu: c a bc b
a
> ⇒
> .
5) Nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi chưa có giả thiết hai vế cùng dấu:
b a b
a> ⇒ 1 < 1.
6) Thừa nhận xm > xn(m,n∈Z+,m>n), khi chưa biết điều kiên của x.
Ngoài những sai lầm thường gặp trên, qua dạy học chứng minh bất đẳng thức cho học sinh THPT, tôi còn gặp những sai lầm khác, chẳng hạn:
- Sai lầm về chiến lược: đưa ra các kết luận sai, quá trình giải không trọn vẹn - Các sai lầm về hình thức.
thức...
- Các sai lầm về khái niệm: Không hiểu chính xác liên từ " khi ", " chỉ khi ". - Các sai lầm về ký hệu "⇒","⇔",{ ,[ ....
Bình Sơn, ngày 10 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Nguyễn Cảnh Thắng
Sở GD & ĐT Đồng Nai CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Bình Sơn Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Bình Sơn, ngày 10 tháng 5 năm 2012
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMNăm học 2011 – 2012 Năm học 2011 – 2012
Tên sáng kiến kinh nghiệm :
MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Họ và tên tác giả : Nguyễn Cảnh Thắng Tổ : Toán -Tin
Lĩnh vực :
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn
Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác
1. Tính mới :
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả :
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn
ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị
có hiệu quả cao
3. Khả năng áp dụng :
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách :
Tốt Khá Đạt
vào cuộc sống :
Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng :
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ