Vì EM là trung tuyến của tam giác vng BEC nên ta có tam giác MBE
cân tại M .
0,125 5
Hay ta có EMC 2 EBM (góc ngồi của tam giác MBE)
0,25
Theo câu a) ta có EFD 2 HFD (do FH cũng là phân giác của góc
DFE
) 0,25
Mà ta lại có HFD HBD EBM (Cùng chắn cung DH của tứ giác nội tiếp BFHD)
0,125 5
Từ đó suy ra DFE EMCDFEM nội tiếp (đpcm) 0,25 c) Tia MH cắt đường tròn O tại I . Chứng minh rằng các đường thẳng
, ,
AI EF BC đồng quy. 1,0
Kẻ đường kính AA' của đường trịn O . Ta có BH / / 'A C vì cùng vng góc với AC
0,125 5
Và CH / / 'A B vì cùng vng góc với AB 0,12 5
Nên có tứ giác BHCA' là hình bình hành nên có A M H I', , , thẳng hàng 0,12 5
Từ đó ta có I nằm trên đường trịn AFHE với đường kính AH (vì
0 ' 90 HIA A IA ) 0,12 5
Gọi EF cắt BC tại S, AI cắt BC tạiS'. Ta có SF SE SB SC. . và ' . ' ' . '
S I S A S B S C 0,25
Ta chứng minh được SB SC SO. 2R2 khơng đổi gọi là phương tích của S
đối với đường trịn O .
0,125 5
Từ đó ta có S và S' có cùng phương tích đối với đường trịn AFHE nên '
S S
0,125 5 5 a) Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
2 2 4 2 8 7
y y x y x .
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương a b, thỏa mãn b23a a bM .2
1,0