Bộ tạo dãy luân phiên

8. Bố cục của luận án

1.3. Một số bộ tạo dãy giả ngẫu nhiên dựa trên m-dãy

1.3.3 Bộ tạo dãy luân phiên

Bộ tạo dãy luân phiên (The Alternating Step Generator) là sự kết hợp khéo léo giữa hai bộ tạo dãy Stop- Go thông qua dãy điều khiển D' Bruijn [27]. Bộ tạo này đã phát huy được các đặc tính tốt của các dãy thành phần: các m-dãy và dãy

D' Bruijn, đồng thời nó cũng tích hợp được tính miễn dịch tương quan, một trong các yêu cầu quan trọng của các kiểu tạo khố thuật tốn hiện nay.

Hình 1.5 Mơ hình bộ tạo dãy luân phiên

Giả sử: K={ kt}t0 là dãy D' Bruijn bậc k; U={ut} và V={vt} là hai m-dãy

bậc tương ứng L, M nguyên tố cùng nhau.

Khi đó đầu ra W={wt} t1 của bộ tạo dãy luân phiên như trong hình 1.5 sẽ được cho bởi cơng thức sau:

wt = uf(t)  vf*(t), t1 (1.11) {wt} + g-s s-g V = {vt} K={kt} U = {ut}

 t 1 trong đó f(t)= ks s 0 , f*(t)= t- f(t).

Các tính chất của bộ tạo dãy luân phiên

Tính chất 1 (Chu kỳ và Độ phức tạp tuyến tính)

Giả sử:

a) K là dãy D' Bruijn chu kỳ 2k;

b) U, V là các m-dãy chu kỳ tương ứng p, q với các đa thức đặc trưng p(x), q(x) có bậc L, M nguyên tố cùng nhau.

Khi đó, chu kỳ T và độ phức tạp tuyến tính  của dãy W sẽ được cho bởi

công thức sau:

T= K.p.q; (1.12)

(L+M) 2k-1  (L+M) 2k.

Tính chất 2 (Phân bố tần số các bộ r-tupe)

w

1

card{ tZT : wt+i= i, i Zd} = 1

+o  1  + o 1  . (1.13) T 2d  2Ld   2M d      Tính chất 3 (Tính chất tương quan)

Cũng với các giả thiết như trên, hàm tự tương quan của dãy luân phiên sẽ được ước lượng bởi công thức sau:

C() = t

0 . pq  t1. p  t2 .q 

t3

2k. pq

(1.14)

trong đó ti, i=0..3, là chỉ số trùng giữa các pha thứ 0 và thứ  của dãy, đồng

thời chúng thoả mãn các ràng buộc

0 t0, t1, t2, t3 2k; t0+ t1+ t2+ t3= 2k.

Chứng minh các Tính chất 2, 3 có thể tham khảo trong [27].

Tính chất 4 (Lực lượng của bộ tạo dãy)

Giả sử k, L, M là các số cố định cho trước thoả mãn các yêu cầu đã nêu trong mơ hình bộ tạo. Khi đó số lượng các dãy có thể tạo được qua mơ hình bộ tạo dãy ln phiên ứng với các tham số này là:

K = 2 2k 1  k . 2L  1 L . 2M  1 M . (1.15) Nhận xét:

Các tính chất lý thuyết trên đây cho thấy dãy luân phiên có độ phức tạp tuyến tính rất cao, có hàm tự tương quan đủ nhỏ, và mơ hình bộ tạo có tính miễn dịch tương quan, do đó có thể được dùng tạo khố trong mật mã khi chọn các tham số thích hợp.

Từ các nghiên cứu về khả năng miễn dịch với các tấn cơng phân tích bộ tạo [19], ta thấy rằng với các tấn cơng mạnh nhất hiện nay và với các giả thiết rộng rãi nhất đối với thám mã, bộ tạo dãy luân phiên hồn tồn miễn dịch với các kiểu tấn

cơng đó. Thơng qua các khảo sát này, ta có thể làm chủ các thơng số, các giới hạn đảm bảo an toàn cho bộ tạo dãy trong thực tế sử dụng.