.(1 ) . 1 . 1 t R Sp T B Sn R Sp B Sn R Sp hoặc ( ) . 1 t R Od T B LR . 1 1 . .(1 ) 1 . R Sp T B Sn R Sp B Sn R Sp hoặc ( ) . 1 R Od T B LR
trong đĩ: R là tỷ lệ rủi ro (Ricks) B là tỷ lệ lợi ích (benefits)
Hai giá trị Tt và T chia đoạn [0;1] thành ba vùng: vùng khơng điều trị, vùng xét nghiệm và vùng điều trị. Mức độ rộng hẹp của ba vùng này tùy thuộc vào giá trị Tt và T .
Trường hợp xét nghiệm khá chính xét, ít rủi ro và ít tốn kém, bác sĩ thường cho làm xét nghiệm rộng rãi dù P(B+) cao hay thấp Vùng xét nghiệm rộng ra.
Ngược lại, nếu xét nghiệm ít chính xác hoặc nhiều rủi ro và tốn kém thì bác sĩ ít chỉ định làm xét nghiệm Vùng xét nghiệm thu hẹp lại.
Mơ hình ngưỡng giải thích việc bác sĩ cho làm xét nghiệm T hay điều trị hay khơng điều trị là tùy vào P(B+) rơi vào cùng nào.
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
XÁC SUẤT VÀ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
Bài 1.1. Một lớp học cĩ 60 sinh viên, trong đĩ cĩ 20 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 nhĩm gồm 10 sinh viên trong lớp trên. Tính xác suất trong nhĩm sinh viên được chọn cĩ:
a) đúng 3 sinh viên nữ. b) cĩ ít nhất 1 sinh viên nữ. c) khơng cĩ sinh viên nữ nào. d) cĩ nhiều nhất 8 sinh viên nữ.
Bài 1.2. Một lớp cĩ 50 sinh viên, trong đĩ cĩ 20 nữ và 30 nam. Trong kỳ thi mơn tốn cĩ 10 sinh viên đạt điểm giỏi, trong đĩ cĩ 6 nam và 4 nữ. Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi mơn tốn, biết rằng sinh viên đĩ là nữ?
Bài 1.3. Một hộp đựng 10 phiếu trong đĩ chỉ cĩ 2 phiếu cĩ trúng thưởng. Cĩ 10 người lần lượt rút ngẫu nhiên mỗi người một phiếu.
a) Tính xác suất người thứ ba rút được phiếu trúng thưởng?
b) Giả sử người thứ ba rút được phiếu trúng thưởng, tính xác suất người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng?
Bài 1.4. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên hai viên đạn vào cùng một bia. Xác suất trúng bia của viên thứ nhất là 0,85; nếu viên thứ nhất trúng bia thì xác suất trúng bia của viên hai là 0,8, cịn nếu viên thứ nhất khơng trúng bia do tâm lý xác suất trúng bia của viên thứ hai là 0,55. Tính xác suất a) cả hai viên đạn trúng bia? b) viên thứ hai trúng bia? c) cả hai viên đều trật? Bài 1.5. Xác suất bắn trúng bia của mỗi viên đạn là 0,75.
a) Bắn ngẫu nhiên 15 viên đạn. Tính xác suất cĩ trúng bia?
b) Phải bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất cĩ trúng bia lớn hơn 95%?
Bài 1.6. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 19%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh này là 5%.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng. Tính xác suất để người đĩ a1) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp?
a2) khơng bị bệnh tim cũng khơng bị bệnh huyết áp? a3) khơng bị bệnh tim hay khơng bị bệnh huyết áp? a4) bị bệnh tim nhưng khơng bị bệnh huyết áp? a5) khơng bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp?
b) Khám ngẫu nhiên 1 người và thấy cĩ dấu hiệu mắc bệnh huyết áp. Tính xác suất người này bị bệnh tim?
c) Khám ngẫu nhiên 1 người và thấy khơng cĩ dấu hiệu mắc bệnh huyết áp. Tính xác suất người này khơng bị bệnh tim?
d) Khám ngẫu nhiên 15 người trong vùng. Tính xác suất trong 10 người được khám khơng cĩ người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh tim?
e) Khám ngẫu nhiên 20 người trong vùng. Tính xác suất trong 20 người được khám khơng cĩ người, đúng 1 người, ít nhất 1 người khỏe mạnh (khơng bị bệnh tim cũng khơng bị bệnh huyết áp)?
f) Cần khám tối thiểu bao nhiêu người trong vùng sao cho xác suất cĩ ít nhất một người bị bệnh tim 90%?
Bài 1.7. Trong dân số, tỷ lệ bệnh A là 25%, tỷ lệ bệnh B là 35% và trong số những người bệnh A thì tỷ lệ bệnh B là 75%.
a) Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị bệnh B. Tính xác suất người này mắc bệnh A?
b) Khám ngẫu nhiên một người khác và thấy người này khơng bị bệnh B. Tính xác suất người này khơng bị bệnh A?
c) Khám ngẫu nhiên 15 người, tính xác suất khơng cĩ người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh B?
d) Khám ngẫu nhiên 20 người, tính xác suất khơng cĩ người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh A?
e) Khám ngẫu nhiên 25 người, tính xác suất khơng cĩ người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh A và bị bệnh B?
f) Khám ngẫu nhiên 30 người, tính xác suất cĩ khơng cĩ người, đúng 1 người, ít nhất 1 người khỏe mạnh (khơng bị bệnh A cũng khơng bị bệnh B)?
Bài 1.8. Cĩ ba hộp đựng thuốc. Hộp B1 cĩ 15 lọ thuốc trong đĩ cĩ 5 lọ hỏng và 10 lọ tốt; hộp B2 cĩ 20 lọ trong đĩ cĩ 8 lọ hỏng và 12 lọ tốt; hộp B3 cĩ 25 lọ thuốc trong đĩ cĩ 10 lọ hỏng và 15 lọ tốt.
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất trong 3 lọ được lấy cĩ 2 lọ hỏng; ít nhất 1 lọ hỏng; 2 lọ tốt?
b) b1) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đĩ lấy ngẫu nhiên 1 lọ. Tính xác suất lấy được lọ thuốc tốt? lọ thuốc hỏng?
b2) Nếu lấy được lọ tốt, phán đốn lọ tốt được lấy thuộc hộp nào?
c) Dồn chung ba hộp lại, sau đĩ lấy ngẫu nhiên 3 lọ. Tính xác suất trong 3 lọ được lấy cĩ 2 lọ tốt; ít nhất 1 lọ tốt; khơng cĩ lọ hỏng?
Bài 1.9. Một dân số cĩ 45% đàn ơng và 55% phụ nữ. Tỷ lệ loạn sắc của đàn ơng là 4% và của phụ nữ là 0,5%. Chọn ngẫu nhiên một người trong số đĩ.
a) Tính xác suất người này bị loạn sắc?
b) Nếu người này bị loạn sắc, tính khả năng người này là phụ nữ?
c) Nếu người này khơng bị loạn sắc thì khả năng người này là đàn ơng bao nhiêu?
Bài 1.10. Bệnh A cĩ thể đưa đến hậu quả: Chết 10%, liệt nửa người 40%, liệt hai chân 30%, khỏi hồn tồn 20%.
a) Tính xác suất người bệnh khơng chết, người bệnh bị tật (liệt nửa người hoặc liệt hai chân)? b) Nếu người bệnh khơng chết, tính xác suất để người đĩ bị tật?
Bài 1.11. Ở một vùng cứ 100 người thì cĩ 30 người hút thuốc lá. Biết tỉ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc là 60%, cịn trong số người khơng hút là 10%.
a) Khám ngẫu nhiên một người. Tìm xác suất để người đĩ bị viêm họng. b) Giả sử người được khám bị viêm họng. Tìm xác suất anh ta hút thuốc.
Bài 1.12. Tỷ lệ bệnh B của trẻ em trai trong dân số là 20% và của trẻ em gái là 25%. Khám ngẫu nhiên 7 trẻ em trai và 8 trẻ em gái. Tính xác suất trong 15 trẻ được khám cĩ 1 trẻ, 2 trẻ, khơng cĩ trẻ, ít nhất 1 trẻ bị bệnh B?
Bài 1.13. Một hồi cứu về bệnh ung thư vú sau phẩu thuật cho biết: Tỷ lệ sống khơng quá 5 năm là 35%, tỷ lệ cĩ hạch di căn là 30%. Trong hồi cứu này số ca vừa sống qua 5 năm và cĩ di hạch di căn bằng phân nữa số ca khơng cĩ hạch di căn và khơng sống quá 5 năm.
a) Một người bị ung thư vú và cĩ hạch di căn. Tính khả năng người này sống quá 5 năm sau phẫu thuật?
b) Một người bị ung thư vú và khơng cĩ hạch di căn. Tính khả năng người này sống quá 5 năm sau phẫu thuật?
Bài 1.14. Tỷ lệ suy tim trong dân số là 3%, tỷ lệ bướu cổ là 12%, trong những người bướu cổ thì tỷ lệ suy tim là 10%.
a) Khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp được người vừa bị bướu cổ vừa bị suy tim lớn hơn 95%?
b) Khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp được người bị bướu cổ lớn hơn 90%? c) Một người đến khám, thấy cĩ dấu hiệu suy tim. Tính xác suất người này bị bướu cổ?
d) Một người đến khám, thấy khơng cĩ dấu hiệu suy tim. Tính khả năng người này khơng bị bướu cổ?
Bài 1.15. Một bệnh nhân uống nhầm một trong ba loại thuốc A, B, hoặc C bề ngồi rất giống nhau để trong tủ thuốc, biết rằng cĩ 3 lọ loại A, 5 lọ loại B và 2 lọ loại C. Uống nhầm loại thuốc nào cũng gây hạ huyết áp, biết rằng cĩ 75% nếu dùng thuốc loại A, 65% nếu dùng thuốc loại B và 20% nếu dùng thuốc loại C.
a) Tính xác suất bệnh nhân trên bị hạ huyết áp?
b) Giả sử bệnh nhân trên bị hạ huyết áp. Ba loại thuốc trên cĩ cách xử lý khác nhau và khơng tương thích. Nếu khơng xử lý kịp thời sẽ để lại di chứng biết rằng khả năng để lại di chứng là 12% nếu uống nhầm thuốc loại A, 15% nếu uống nhầm thuốc loại B và 20% nếu uống nhầm thuốc loại C. Để hạn chế di chứng phải xử lý theo hướng nào? (nhầm A, nhầm B hay nhầm C) Bài 1.16. Theo tài liệu nghiên cứu: trong 100 người bị đau nhĩi dưới ngực thì cĩ 10 người bị bệnh mạch vành, 20 người bị bệnh đường hơ hấp, 30 người bị bệnh đường tiêu hĩa và số cịn lại khỏe mạnh bình thường. Gọi A là biến cố triệu chứng đau dưới ngực khi gắng sức và hết đau khi nghỉ ngơi. Biết rằng nếu người bị bệnh mạch vành thì chắc chắn cĩ triệu chứng A, nếu bị bệnh đường hơ hấp thì 25% cĩ triệu chứng A, nếu bị bệnh đường tiêu hĩa thì cĩ 35% cĩ triệu chứng A. Một người cĩ triệu chứng A đến khám bệnh, bác sĩ chỉ nghĩ đến 3 bệnh trên. Khả năng người này bị bệnh nào là cao nhất?
XÁC SUẤT TRONG CHẨN ĐỐN
Bài 1.17. Bệnh M chỉ cĩ hai loại là M1 và M2. Chỉ xét hai triệu chứng là S1 và S2. Lấy ngẫu nhiên 390 người bệnh M, cĩ 190 người thuộc loại M1 và 200 người thuộc loại M2. Phân tích như sau:
1
S S1 S1 S1
S2 20 40 S2 80 60 a) Đặt xét nghiệm T chẩn đốn bệnh M2: T dương tính khi người bệnh M2 cĩ S2 và T âm tính khi
người bệnh M khơng cĩ S2. Tính độ nhạy, độ chuyên, PV P M T( 2| ), PV P M( 2| )T của T?
b) Đặt xét nghiệm U chẩn đốn bệnh M1: U dương tính khi người bệnh M1 cĩ S2 và U âm tính khi người bệnh M khơng cĩ S2. Tính độ nhạy, độ chuyên,
1 ( | ),
PV P M U PV P M U( 1| ) của T?
Bài 1.18. Bệnh M cĩ hai loại M1 và M2. Bác sĩ chỉ xét hai triệu chứng S1 và S2 đối với bệnh M. Trong tổng thể các bệnh nhân bị bệnh M, lấy ngẫu nhiên 400 người thì cĩ 208 người bị M1 và 192 người bị M2. Trong 208 người bị M1 cĩ 37 người khơng cĩ S1 và khơng cĩ S2, 103 người cĩ S1 và khơng cĩ S2, 21 người khơng cĩ S1 và cĩ S2. Trong 192 người bị M2 cĩ 33 người khơng cĩ S1 và khơng cĩ S2, 22 người cĩ S1 và khơng cĩ S2, 74 người khơng cĩ S1 và cĩ S2. a) Đối với bệnh nhân bị bệnh M, tính xác suất bị M1 và xác suất bị M2 của bệnh nhân trong các
trường hợp sau:
a1) khơng cĩ S1 và khơng cĩ S2? a2) cĩ S1 và khơng cĩ S2? a3) khơng cĩ S1 và cĩ S2? a4) cĩ S1 và cĩ S2?
b) Đối với bệnh nhân bị bệnh M, đặt xét nghiệm T chẩn đốn bệnh nhân đĩ bị M2 như sau: T dương tính khi bệnh nhân cĩ S2 và T âm tính khi bệnh nhân đĩ khơng cĩ S2. Tính độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T?
Bài 1.19. Một người đến khám vì ho ra máu. Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì những trường hợp như vậy cĩ thể là:
+ B1 = lao phổi với xác suất 0,60 + B2 = dãn phế quản với xác suất 0,30 + B3 = bệnh khác với xác suất 0,10
Cho bệnh nhân làm xét nghiệm IDR. Kết quả IDR+.
Theo kinh nghiệm của phịng xét nghiệm thì IDR+ trong bệnh nhân lao phổi là 0,70 và dương giả trong bệnh nhân khác là 0,05.
Tính khả năng bệnh nhân trên bị lao phổi?
Bài 1.20. Tỷ lệ bệnh B trong một vùng là 20%. Để chẩn đốn bệnh B, bác sĩ dùng xét nghiệm T1. Biết xét nghiệm T1 cĩ độ nhạy là 90% và độ chuyên là 80%.
a) Khám ngẫu nhiên 20 người trong vùng. Tính xác suất cĩ đúng 3 người, ít nhất 1 người, nhiều nhất 2 người bị bệnh B?
b) Một người đến khám bệnh, bác sĩ cho làm xét nghiệm T1, kết quả T1 dương tính. Tính xác suất người này mắc bệnh B?
c) Bác sĩ cho người này tiếp tục làm xét nghiệm T2, biết độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T2 bằng nhau và bằng 85%.
c1) Nếu kết quả xét nghiệm T2 của người này là dương tính, tính xác suất người bị bệnh B? c2) Nếu kết quả xét nghiệm T2 của người này là âm tính, tính xác suất người bị bệnh B?
Bài 1.21. Một người “nghi ngờ” mình bị bệnh B nên xin làm xét nghiệm để kiểm tra. Cĩ hai xét nghiệm T1 và T2 cĩ chi phí và cách thực hiện như nhau. Biết độ nhạy và độ chuyên của T1 là 85% và 90%; cịn T2 là 92% và 82%.
a) Nên chọn xét nghiệm nào để kiểm tra người này? Tại sao?
b) Biết tỷ lệ bệnh này trong dân số là 20/00 và xét nghiệm vừa chọn của người này cĩ kết quả dương tính. Tính khả năng người này bị bệnh B?
c) Một người đến khám bệnh, bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả T âm tính. Tính xác suất người này khơng mắc bệnh B?
Bài 1.22. Số bệnh nhân đến khám tại một phịng khám thường bị một trong ba bệnh B1, B2, B3 với tỷ lệ 35%, 45%, 20%. Để chẩn đốn, bác sĩ dùng ba xét nghiệm T1, T2, T3, kết quả mỗi xét nghiệm là + hay – (ký hiệu 1 hay 0)
Biết 1 1 1 2 2 3 (001| ) 0,3; (100 | ) 0,25; (011| ) 0,45 (000 | ) 0,25; (010 | ) 0,75; (111| ) 1 P B P B P B P B P B P B
a) Một bệnh nhân đến khám cĩ T1 âm, T2 dương thì khả năng người này bị bệnh B1, B2, B3 là bao nhiêu?
b) Tương tự câu a) nhưng T1 âm, T2 âm?
c) Chứng tỏ rằng chỉ cần 2 trong 3 xét nghiệm trên là đủ chẩn đốn bệnh B1, B2 hoặc B3?
Bài 1.23. Bệnh B cĩ 3 loại B1, B2, B3 lần lượt cĩ tỷ lệ tương ứng là 30%, 20% và 50%. Để chẩn đốn bệnh B, bác sĩ dùng xét nghiệm T, biết P T B | 1 25%; P T B | 2 10%;
| 3 85%
P T B
a) Một người đến khám bệnh, Bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả dương tính. Tính xác suất người đĩ bị bệnh B1? B2? B3?
b) Một người đến khám bệnh, Bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả âm tính. Tính xác suất người đĩ bị bệnh B1? B2? B3?
Bài 1.24. Hai xét nghiệm T1 và T2 được dùng để chẩn đốn bệnh B. Bệnh này khơng lây lan và diễn tiến bệnh là tử vong nếu khơng được chẩn đốn và điều trị; việc điều trị bệnh này cũng khơng tốn kém. Biết xét nghiệm T1 cho âm giả 2%, dương giả 25% và xét nghiệm T2 cho âm giả 25%, dương giả 2%.
a) Tính độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T1 và T2?
b) Nếu chỉ dùng 1 trong hai xét nghiệm để chẩn đốn bệnh nhân nghi ngờ mắc bệnh B, nên dùng xét nghiệm nào? Tại sao?
Bài 1.25. Chị A đến khám bệnh vì thấy đau ở vú. Bác sĩ nghi ngờ chị A bị K vú với xác suất là 0,001. Chị A được cho làm xét nghiệm T1 và cĩ kết quả là dương tính biết xét nghiệm T1 cĩ độ