8.1. Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính sau f(x) = 4x1 + 4x2 - x3 + 3x4 min f(x) = 4x1 + 4x2 - x3 + 3x4 min
3x1 - x3 - x4 8 x1 + 5x2 + 4x3 + x4 9 2x1 – x2 - x3 - 2x4 = 5 xj 0, j = 1,4.
a) Chứng minh rằng x0 = ( , 0, 0, ) là phương án cực biên. Xuất phát từ x0, tìm lời giải của bài tốn bằng phương pháp đơn hình.
b) Thay điều kiện x2 0 bởi x2 0. Tìm lời giải bài toán. Giải:
a) Thế x0 = ( , 0, 0, ) vào các ràng buộc của bài toán ta được 3. - 0 - = 8 (thỏa chặt)
138 + 5.0 + 4.0 + < 9 (thỏa lỏng) + 5.0 + 4.0 + < 9 (thỏa lỏng) 2. – 0 - 0 – 2. = 5 (thỏa chặt) x1 = 0 (thỏa lỏng) x2 = 0 (thỏa chặt) x3 = 0 (thỏa chặt) x4 = 0 (thỏa lỏng)
Ta thấy các ràng buộc đều thỏa nên x0 là phương án của bài tốn, trong đó có 4 ràng buộc thỏa chặt. Từ ràng buộc thứ nhất ta có vectơ u1 = (3, 0, -1, -1)
Từ ràng buộc thứ ba ta có vectơ u1 = (2, -1, -1, -2) Từ ràng buộc thứ năm ta có vectơ u1 = (0, 1, 0, 0) Từ ràng buộc thứ sáu ta có vectơ u1 = (0, 0, 1, 0) Xét: k1u1 + k2u2 + k3u3 + k4u4 = 0
3k1 + 2k2 = 0 -k2 + k3 = 0 -k1 –k2 + k4 = 0 -k1 - 2k2 =0 Ta có A= 3 2 0 0 0 −1 1 0 −1 −1 −1−2 0 10 0
và Det(A)= -4 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
k1 = k2 = k3 = k4 = 0
4 vectơ u1, u2, u3, u4 độc lập tuyến tính.
Bài tốn có 4 biến nên n=4, số ràng buộc thỏa chặt độc lập tuyến tính là 4 nên x0=( , 0, 0, ) là phương án cực biên.
Xuất phát từ x0, tìm lời giải của bài tốn.
Dạng chính tắc của bài toán: f(x) = 4x1 + 4x2 - x3 + 3x4 min 3x1 - x3 - x4 – x5 = 8
139 x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + x6 = 9