Để chứng minh một phương ánx là một phương án tối ưu của (P), ta thực hiện các bước sau đây
1 Giả sửxlà một phương án tối ưu của (P).
2 Gọiy là một phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu (D) của (P).
3 Áp dụng định lí độ lệch bù yếu cho (P) và (D), ứng với cặp vector
x vày.
4 Giải hệ phương trình và bất phương trình đối vớiy.
5 Nếu tồn tại nghiệm thì chứng tỏx là một phương án tối ưu của (P) và tập phương án tối ưu của (D) là tập nghiệm củay vừa tìm được.
6 Nếu khơng tồn tại nghiệm thì chứng tỏxkhơng phải là một phương án tối ưu của (P).
Ví dụ
Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính (P)
f(x) =2x1+5x2+3x3+6x4→max 4x1+2x2+x3+2x4 ≤20 2x1+3x2+2x3+4x4 ≥30 2x1+x2+3x3=5x4 ≥40 x1,x2,x3,x4≥0.
1 Viết bài tốn đối ngẫu của (P).
2 Vectorx = (0,0,0,10)có là phương án tối ưu của (P) hay không? Xác định tập phương án tối ưu của bài toán (P).
Giải.
1) Bài toán đối ngẫu (D) của bài toán (P) là
g(y) =20y1+30y2+40y3→min
4y1+2y2+2y3 ≥2 2y1+3y2+y3 ≥5
y1+2y2+3y3 ≥3 2y1+4y2+5y3 ≥6
2) Nhận thấyx = (0,0,0,10)là một phương án của (P) vì thỏa mãn tất cả ràng buộc chính và ràng buộc dấu.
Giả sửxlà một phương án tối ưu của bài toán (P). Gọiy = (y1,y2,y3)
là một phương án tối ưu của (D). Theo định lí độ lệch bù yếu ta có 4x1+2x2+x3+2x4=20 (chặt)⇒y1≥0 (1)
2x1+3x2+2x3+4x4>30 (lỏng)⇒y2=0 (2) 2x1+x2+3x3=5x4>40 (lỏng)⇒y3=0 (3)
x1=0 (chặt)⇒4y1+2y2+2y3≥2 (4)
x2=0 (chặt)⇒2y1+3y2+y3≥5 (5)
x3=0 (chặt)⇒y1+2y2+3y3≥3 (6)
x4>0 (lỏng)⇒2y1+4y2+5y3=6 (7)
Giải hệ phương trình (2), (3), (7) ta đượcy = (3,0,0), nghiệm này cũng thỏa (1), (4), (5), (6).
Vậyx là phương án tối ưu của (P),fmax=60 và (D) có phương án tối ưu duy nhất là (3,0,0).
Tìm tập phương án tối ưu của bài tốn (P):
Vìy = (3,0,0)là phương án tối ưu của (D) nên nếux = (x1,x2,x3)là
một phương án tối ưu của (P) thì theo định lí độ lệch bù yếu ta có: 4y1+2y2+2y3=12>2 (lỏng)⇒x1=0 (1)
2y1+3y2+y3=6>5 (lỏng)⇒x2=0 (2)
y1+2y2+3y3=3 (chặt)⇒x3≥0 (3) 2y1+4y2+5y3=6 (chặt)⇒x4≥0 (4)
y1=3>0 (lỏng)⇒4x1+2x2+x3+2x4=20 (5)
y2=0 (chặt)⇒2x1+3x2+2x3+4x4≥30 (6)
y3=0 (chăt)⇒2x1+x2+3x3=5x4≥40 (7)
Giải hệ phương trình (1), (2), (5) ta đượcx = (0,0,20−2a,a). Thay
vào (3), (4), (6), (7) ta được 0≤a≤10. Vậy tập phương án tối ưu của (P) là
Bài tập
Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính (P) như sau:
f(x) =x1+12x2+10x3→min x1+3x2+x3 ≥2 2x1−x2 ≥ −1 −x1+4x2+2x3 ≥4 x1≤0,x2≥0,x3≥0.
1 Viết bài toán đối ngẫu (D) của bài toán (P).
2 Cho biết(0,8,5)là một phương án tối ưu của (D). Hãy xác định tập hợp tất cả các phương án tối ưu của (P).
Ví dụ
Một cơng ty có 4 cửa hàng là B1, B2, B3, B4 có nhu cầu về một loại hàng hóa tương ứng là 40, 75, 60, 70 (tấn). Cơng ty đã đặt mua loại hàng đó ở 3 xí nghiệp là A1, A2, A3 với khối lượng tương ứng là 45, 90, 110 (tấn). Giá cước vận chuyển (1000đ / tấn) từ một xí nghiệp đến một cửa hàng cho trong bảng sau
❵❵❵❵❵ ❵❵❵❵❵❵❵ Xí nghiệp Cửa hàng B1 B2 B3 B4 A1 82 73 74 79 A2 80 75 81 79 A3 80 77 77 82