Bài toán tối ưu tổng quát

i. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

2.1.1. Bài toán tối ưu tổng quát

Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học - công nghệ và kinh tế - xã hội. Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng. Phương án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao.

Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau [17]:

min f(x) với điều kiện x  D (P1) hoặc

max f(x) với điều kiện x  D (P2) Trong đó D  Rn được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng buộc và f: D  R là hàm mục tiêu. Mỗi điểm x  D được gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án chấp nhận được (có thể gọi tắt là một phương án).

Điểm x*  D mà f(x*)  f(x)  x D

Được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục (global minimizer), hoặc chỉ đơn giản là nghiệm của bài toán (P1). Người ta còn gọi một nghiệm tối ưu là một phương án tối ưu hay lời giải của bài toán đã cho. Điểm x* D được gọi là một điểm tối ưu hóa toàn cục chặt (strictly global minimizer) nếu

f(x*) < f(x) x  D và x  x*.

Không phải bài toán (P1) nào cũng có nghiệm cực tiểu toàn cục và nếu bài toán có nghiệm toàn cục thì cũng chưa chắc có nghiệm cực toàn cục chặt.

Giá trị tối ưu (hay giá trị cực tiểu) của bài toán (P1) được ký hiệu là:

D x x f  ) (

min hoặc minf(x) x D.

30

Ta ký hiệu Argminf(x) x D là tập nghiệm tối ưu của bài toán (P1). Nếu bài toán chỉ có một nghiệm tối ưu x* thì có thể viết x* = argminf(x) x  D.

Điểm x* D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán (P1) nếu tồn tại một  - lân cận B(x*, ) của điểm x* D

Sao cho f(x*)  f(x) x  B(x*, )  D.

Điểm x*  D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc nghiệm cực tiểu địa phương chặt của bài toán (P1) nếu tồn tại một  - lân cận B(x* , ) của điểm x* D sao cho

f(x*) < f(x) x  B(x*, )  D và x  x*.

Lưu ý rằng, người ta cũng thường phát biểu bài toán (P1) dưới dạng minf(x) x D hoặc f(x)  min hoặc

D x x f  ) (

min với điều kiện x D Tương tự bài toán (P2) cũng thường được phát biểu dưới dạng maxf(x) x D hoặc f(x) max hoặc

D x x f  ) (

max , với điều kiện x  D

Các khái niệm tương tự cũng được định nghĩa cho bài toán (P2). Cụ thể, nếu tồn tại một  - lân cận B(x*, ) của điểm x* D sao cho

f(x*) ≥ f(x) x  B(x* , )  D

Thì x* được gọi là nghiệm tối ưu địa phương hay nghiệm cực đại địa phương của bài toán (P2). Nếu tồn tại một - lân cận B(x*, ) của điểm x* D sao cho

f(x*) > f(x) x  B(x* , )  D và x  x*

Điểm x*  D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hay nghiệm cực đại địa phương chặt của bài toán (P2).

Điểm x* D thỏa mãn f(x*)  f(x) với mọi x D được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực đại toàn cục (global maximizer), hoặc chỉ đơn giản là nghiệm của bài toán (P2). Nếu x* D thỏa mãn thì ta gọi x* một điểm tối ưu toàn cục chặt (strictly global maximizer) của bài toán (P2) được ký hiệu là

D x x f  ) ( max hoặc maxf(x) x D.

Tương tự đối với bài toán (P1), ta ký hiệu maxf(x) x D là tập nghiệm tối ưu của bài toán (P2). Trường hợp bài toán chỉ có một nghiệm tối ưu x* thì có thể viết x* = maxf(x) x D.