Chương 1 Kiến thức cơ sở
2.2. Rời rạc bài toán truyền nhiệt dừng
Bài toán truyền nhiệt dừng (1.6)-(1.7) được việt dưới dạng bài tốn Dirichlet đối với phương trình Poisson trong khơng gian hai chiều là:
Cho miền mở Ω⊂R2 và các hàm số f xác định trên Ω, gđược xác định trên ∂Ω. Tìm u:Ω→Rsao cho
∆u= f trênΩ, (2.6)
u|∂Ω=g. (2.7)
GọiΞ⊂Ωlà bộ hữu hạncác tâm rời rạc, ∂Ξ:=Ξ∩∂Ωvà Ξint :=Ξ\∂Ξ. Giả sử với mỗiζ ∈Ξint, bộΞζ ⊂Ξđược chọn sao choζ ∈Ξζ và
Ξ= [
ζ∈Ξint
Ξζ.
Đối với mỗiζ ∈Ξint, sử dụng cơng thức (2.1) đối với tốn tử Laplace∆ta được ∆u(ζ)≈ ∑
ξ∈Ξζ
wζ,ξu(ξ), (2.8)
trong đó[wζ,ξ]ξ∈Ξ
ζ là các véc tơ trọng số. Khi đó bài tốn (2.6)–(2.7) được rời rạc thành hệ phương trình tuyến tính ∑ ξ∈Ξζ wζ,ξu(ξˆ ) = f(ζ), ζ ∈Ξint, (2.9) ˆ u(ξ) =g(ξ), ξ ∈∂Ξ. (2.10)
Nếu hệ phương trình (2.9)–(2.10) khơng suy biến thì giải hệ ta sẽ tìm được nghiệm xấp xỉ của bài tốn làuˆ:Ξ→R.
Khi thực hiện trên miền hình vng Ω⊂R2, phương pháp được trình này là phương pháp sai phân hữu hạn,Ξlà lưới đều và (2.8) là công thức sai phân 5 - điểm đối với tốn tử Laplace.
Độ chính xác của phương pháp khi giải bài toán (2.9)–(2.10) phụ thuộc vào cách chọn bộ tâm hỗ trợ tính tốn véc tơ trọng số Ξζ. Hiện nay có nhiều thuật tốn chọn Ξζ, xem [10, 18, 20, 23]. Trong phần tiếp theo, chúng tôi xin giới thiệu thuật toán chọn tâm [18, Thuật toán 1] được đề xuất gần đây nhất và đề xuất song song hóa thuật tốn này cùng với tính véc tơ trọng số trong [3].